【題目】十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中項(xiàng)點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式,被稱為歐拉公式。請(qǐng)你觀察下列兒種簡(jiǎn)單多面體模型,解答下列問題:
(1)根據(jù)上面多面體模型,完成表格中的空格:
多面體 | 項(xiàng)點(diǎn)數(shù)(V) | 面數(shù)(F) | 棱數(shù)(F) |
四面體 | |||
長(zhǎng)方體 | |||
正八面體 | |||
正十二面體 |
你發(fā)現(xiàn)項(xiàng)點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(F)之間存在的關(guān)系式是__________________________.
(2)一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)小8,且有30條棱,則這多面體的頂點(diǎn)數(shù)是 20;
(3)某個(gè)玻璃飾品的外形是簡(jiǎn)單多面體,它的外表是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成,且有48個(gè)頂點(diǎn),每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱,設(shè)該多面體表面三角形的個(gè)數(shù)為x個(gè),八邊形的個(gè)數(shù)為y個(gè),求x+y的值.
【答案】(1) 見解析,V+F-E=2;(2) 20;(3)26
【解析】
(1)觀察表格可以看出:頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2,關(guān)系式為:V+F-E=2;
(2)代入(1)中公式進(jìn)行計(jì)算;
(3)根據(jù)歐拉公式可得頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2,然后表示出棱數(shù),進(jìn)而可得面數(shù).
解:(1)根據(jù)題意得如下圖
多面體 | 頂點(diǎn)數(shù)(V) | 面數(shù)(F) | 棱數(shù)(E) |
四面體 | 4 | 4 | 6 |
長(zhǎng)方體 | 8 | 6 | 12 |
正八面體 | 6 | 8 | 12 |
正十二面體 | 20 | 12 | 30 |
∵4+4-6=2,8+6-12=2,6+8-12=2,
∴頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是V+F-E=2;
(2)由(1)可知:V+F-E=2,
∵一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)小8,且有30條棱,
∴V+V-8-30=2,即V=20;
(3)∵有48個(gè)頂點(diǎn),每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱,兩點(diǎn)確定一條直線;
∴共有48×3÷2=72條棱,
設(shè)總面數(shù)為F,
48+F-72=2,
解得F=26,
∴x+y=26.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1;并寫出點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo).
(2)請(qǐng)畫出△ABC繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2,并寫出點(diǎn)A2,B2,C2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(閱讀材料)觀察下列圖形與等式的關(guān)系,并填空:
+()2=1﹣()2;
+()2+()3=
+()2+()3+()4=
(規(guī)律探究)觀察下圖:
根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),用含n的代數(shù)式填空:+()2+()3+()4+()5+…+()n= .
(解決問題)根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),計(jì)算:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某零件制造車間有工人20名,已知每名工人每天可制造甲種零件6個(gè)或乙種零件5個(gè),且每制造一個(gè)甲種零件,可獲利潤(rùn)150元,每制造一個(gè)乙種零件可獲利潤(rùn)260元,在這20名工人中,車間每天安排名工人制造甲種零件,其余工人制造乙種零件,且生產(chǎn)乙種零件的個(gè)數(shù)不超過甲種零件個(gè)數(shù)的一半.
(1)請(qǐng)寫出此車間每天所獲利潤(rùn)(元)與(人)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求自變量的取值范圍;
(3)怎樣安排生產(chǎn)每天獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速.如圖,觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在A處,離益陽(yáng)大道的距離(AC)為30米.這時(shí),一輛小轎車由西向東勻速行駛,測(cè)得此車從B處行駛到C處所用的時(shí)間為8秒,∠BAC=75°.
(1)求B、C兩點(diǎn)的距離;
(2)請(qǐng)判斷此車是否超過了益陽(yáng)大道60千米/小時(shí)的限制速度?
(計(jì)算時(shí)距離精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732, ≈1.732,60千米/小時(shí)≈16.7米/秒)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以O為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,交x軸于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M、N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧在第二象限交于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a,b+1),則a與b的數(shù)量關(guān)系為(。
A. a=b B. 2a﹣b=1 C. 2a+b=﹣1 D. 2a+b=1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,邊AO在Y軸上,點(diǎn)B1、B2、B3…都在直線上,則點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為( )
A. (2016,2018) B. (2016,2016) C. (2016,2016) D. (2016,2018)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中,小圓直徑AE的延長(zhǎng)線與大圓交于點(diǎn)B,點(diǎn)D在大圓上,BD與小圓相切于點(diǎn)F,AF的延長(zhǎng)線與大圓相交于點(diǎn)C,且CE⊥BD.找出圖中相等的線段并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小蟲從點(diǎn)出發(fā)在一條直線上來回爬行,假定向右爬行的路程記作正數(shù),向左爬行的路程記作負(fù)數(shù),爬行的各段路程(單位:)依次為:.
(1)小蟲在爬行過程中離點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離是多少?
(2)小蟲爬到最后距點(diǎn)多遠(yuǎn)?
(3)如果小蟲爬行就獎(jiǎng)勵(lì)它一粒芝麻,那么小蟲一共可得到多少粒芝麻?
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