Question

如圖1，在⊙O中，E是弧AB的中點(diǎn)，C為⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點(diǎn)F，EB=（r是⊙O的半徑）．

（1）D為AB延長線上一點(diǎn)，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切；

（2）求EF•EC的值；

（3）如圖2，當(dāng)F是AB的四等分點(diǎn)時(shí)，求EC的值．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OC、OE，OE交AB于H，如圖1，

∵E是弧AB的中點(diǎn)，

∴OE⊥AB，

∴∠EHF=90°，

∴∠HEF+∠HFE=90°，

而∠HFE=∠CFD，

∴∠HEF+∠CFD=90°，

∵DC=DF，

∴∠CFD=∠DCF，

而OC=OE，

∴∠OCE=∠OEC，

∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，

∴OC⊥CD，

∴直線DC與⊙O相切；

 

（2）解：連結(jié)BC，

∵E是弧AB的中點(diǎn)，

∴弧AE=弧BE，

∴∠ABE=∠BCE，

而∠FEB=∠BEC，

∴△EBF∽△ECB，

∴EF：BE=BE：EC，

∴EF•EC=BE²=（r）²=r²；

 

（3）解：如圖2，連結(jié)OA，

∵弧AE=弧BE，

∴AE=BE=r，

設(shè)OH=x，則HE=r﹣x，

在Rt△OAH中，AH²+OH²=OA²，即AH²+x²=r²，

在Rt△EAH中，AH²+EH²=EA²，即AH²+（r﹣x）²=（r）²，

∴x²﹣（r﹣x）²=r²﹣（r）²，即得x=r，

∴HE=r﹣r=r，

在Rt△OAH中，AH===，

∵OE⊥AB，

∴AH=BH，

而F是AB的四等分點(diǎn)，

∴HF=AH=，

在Rt△EFH中，EF===r，

∵EF•EC=r²，

∴r•EC=r²，

∴EC=r．