Question

如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F. 點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（-4，0），連接PD，PE，DE.

   （1）請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式；

（2）小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值. 進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值. 請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”，則存在多個(gè)“好點(diǎn)”，且使△PDE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“好點(diǎn)”.

     請(qǐng)直接寫出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出△PDE的周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo).

 

 

Answer 1

（1）；（2）設(shè)P（a,）,則F（a, 8），∵ D(0,6) ∴ PD=, ∴ PD-PF=2，

（3）P(a, )，， ∴ S_△=,

,   ∵ -8≤a≤0  ∴ 4≤S_△≤13，

∴ 三角形面積可以等于4到13所有整數(shù)，在面積為12時(shí)a的值有兩個(gè)，所以面積為整數(shù)時(shí)好點(diǎn)有11個(gè)，經(jīng)過驗(yàn)證周長(zhǎng)最小時(shí)的好點(diǎn)包含這11個(gè)之內(nèi)，所以好點(diǎn)共11個(gè)；周長(zhǎng)最小即PD+PE最小即可, ∵ PD=PF+2, 

∴ PF+PE之和最小即可，所以此時(shí)P、E、F三點(diǎn)共線，此時(shí)P（-4,6）,

綜上，11個(gè)好點(diǎn)，P（-4,6）.