Question

某校九年級（1）班數(shù)學興趣小組在社會實踐活動中，進行了如下的課題研究：用一定長度的鋁合金材料，將它設計成外觀為長方形的三種框架，為了使設計出的長方形框架面積最大．小組討論后，同學們做了以下三種試驗：

請根據(jù)以上圖案回答下列問題：
（1）在圖案（1）中，如果鋁合金材料總長度（圖中所有黑線的長度和）為6米，當豎檔AB長為1米，求長方形框架ABCD的面積；
（2）在圖案（2）中，如果鋁合金材料總長度為6米，設豎檔AB為x米，求長方形框架ABCD的面積S（用含x的代數(shù)式表示），并指出當AB為多少米時，長方形框架ABCD的面積S最大；
（3）在圖案（3）中，如果鋁合金材料總長度為a米，設豎檔AB為x米，求當AB為多少米時，長方形框架ABCD的面積S最大．
（4）探索：如圖（4），如果鋁合金材料總長度為a米，AD邊上共有n條豎檔時，請直接寫出當豎檔AB長為多少米時，長方形框架ABCD的面積最大，最大值為多少．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）求出AD的長度，即可得出長方形框架ABCD的面積；
（2）先用x表示出AD，繼而得出S的表達式，利用配方法可求出S的最大值；同理圖案（3）的最大面積也可求解；
（4）利用以上結果得出規(guī)律：當AB的長度是總長度除以豎檔條數(shù)的2倍，面積最大是總長度的平方除以豎檔條數(shù)的12倍；由此直接寫出結論．

解答：解：（1）當AB=1m時，AD=

6-2

3

=

4

3

m，
S_{長方形框架ABCD}=AB×AD=

4

3

m²；
（2）圖（2）中，設AB為x米，則AD=

6-3x

3

=2-x，
S_{長方形框架ABCD}=AB×AD=-x²+2x=-（x-1）²+1，
當x=1時，S取得最大值；
即當AB=1米，長方形框架ABCD的面積S最大．
（3）圖（3）中，設AB為x米，則AD=

a-4x

3

，
S_{長方形框架ABCD}=AB×AD=-

4

3

x²+

a

3

x=-

4

3

（x-

a

8

）²+

1

48

a²，
當x=

a

8

，長方形框架ABCD的面積S最大．
（4）圖（4）中，當豎檔AB長為

a

2n

米時，長方形框架ABCD的面積最大，最大值為

1

12n

a²m²．

點評：從簡單問題情形出發(fā)，找出解決問題的一般規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律把問題推廣．