Question

如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF．
（1）四邊形AECF是什么四邊形？請證明．
（2）若EF=4，DE=BF=2，求四邊形AEBF的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，AO=CO，EO=FO，AC⊥EF即可證得．
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD，根據(jù)已知得出AC=BD=8，OA=OD=4，OE=2，然后根據(jù)勾股定理即可求得AE的值，進(jìn)而求得四邊形AEBF的周長．

解答：（1）答：四邊形AECF為菱形．
證明：連接AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OD=OB，OA=OC，BD⊥AC，
∵BE=DF，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴四邊形AECF為菱形．

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∵EF=4，DE=BF=2，
∴AC=BD=8，OA=OD=4，
∴OE=2，
在RT△AOE中，AE=

OA2+OE2

=

42+22

=2

5

，
∴四邊形AEBF的周長=4×2

5

=8

5

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，考查了菱形的判定以及勾股定理的應(yīng)用，本題中證明AC與EF互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．