【題目】在△ABC中,D、E分別是邊AB、BC上的點,AE和CD交于點F,且∠CFE=∠B。
(1)如圖1,求證:∠AEC=∠CDB;
(2)如圖2,過點C作CG⊥AC,交AB于點G,CD⊥CB,∠ACD =∠CAB-∠B,求證:AC=GC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,CE+CD=AE,CG=,求線段BC的長。
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2.
【解析】
(1)在△CEF中,∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°,進而得到∠ECF+∠B+∠CEF=180°,在△BCD中,∠BCD+∠B+∠CDB=180°,即可得到結(jié)論;
(2)先判斷出∠ACD=∠BCG,再根據(jù)∠AGC=∠B+∠BCG,即可得到結(jié)論;
(3)先判斷出四邊形AHCQ是正方形,得到CH=CQ,再判斷出△CQP≌△CHD,得到∠CPQ=∠CDH,CP=CD,進而得到PE=AE,即∠P=∠PAE,根據(jù)(1)的結(jié)論,∠AEC=∠CDB得到∠AEC=∠P=∠PAE,即∠P=60°,再求出∠B=90°-∠P=30°,根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求解.
(1)在△CEF中,∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°,
∵∠CFE=∠B
∴∠ECF+∠B+∠CEF=180°,
在△BCD中,∠BCD+∠B+∠CDB=180°,
∴∠AEC=∠CDB;
(2)∵CG⊥AC,BC⊥CD,
∴∠ACG=∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠BCG,
∵∠ACD+∠B=∠CAB,
∴∠BCG +∠B=∠CAB
∴∠AGC=∠B+∠BCG,
∴∠CAB=∠AGC
∴AC=AG;
(3)如圖3,過點C作CH⊥AB于H,過點A作AP⊥AB與BC的延長線交于點P,過點C作CQ⊥AP于Q,
∴四邊形AHCQ是矩形,
∴∠HCQ=90°,
由(2)知,AC=CG,∠ACG=90°,
∴CH=AH,
∴矩形AHCQ是正方形,
∴CH=CQ,
∵∠HCQ=90°,
∴∠PCQ+∠BCH=90°,
∵∠BCD=90°,
∴∠DCH+∠BCH=90°
∴∠PCQ=∠DCH
∵∠CQP=∠CHD=90°,
∴△CQP≌△CHD(ASA),
∴∠CPQ=∠CDH,CP=CD,
∵CD+CE=AE,
∴CP+CE=AE,
∴PE=AE,
∴∠P=∠PAE,
根據(jù)(1)可知∠AEC=∠CDB
∵∠CPQ=∠CDH,
∴∠AEC=∠P=∠PAE,
∴∠P=60°,
∴∠B=90°-∠P=30°,
在Rt△CHG中,CH==1,
在Rt△CHB中,BC=2CH=2.
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【題目】如圖,已知:E是∠AOB的平分線上一點,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,連接CD,且交OE于點F.
(1)求證:OE是CD的垂直平分線.
(2)若∠AOB=60,請你探究OE,EF之間有什么數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論。
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【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A(﹣3,0),B(1,0),與y軸的交點為D,對稱軸與拋物線交于點C,與x軸負半軸交于點H.
(1)求拋物線的表達式;
(2)點E,F(xiàn)分別是拋物線對稱軸CH上的兩個動點(點E在點F上方),且EF=1,求使四邊形BDEF的周長最小時的點E,F(xiàn)坐標(biāo)及最小值;
(3)如圖2,點P為對稱軸左側(cè),x軸上方的拋物線上的點,PQ⊥AC于點Q,是否存在這樣的點P使△PCQ與△ACH相似?若存在請求出點P的坐標(biāo),若不存在請說明理由.
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【題目】已知△ABC中,∠ACB =90°,∠A=30°,點D在直線AC上,CD=CB,點E在線段AC上,AE=2EC,連接EB、BD,則∠EBD=____________
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【題目】如圖,點D、E在△ABC的BC邊上,BD=CE,AD=AE。
(1)如圖1,求證:∠BAD=∠CAE;
(2)如圖2,若點E在AC的垂直平分線上,∠C=36°,直接寫出圖中所有的等腰三角形。
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【題目】如圖,四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD互相垂直, A1B1C1D1, 是四邊形ABCD的中點四邊形,如果AC=8, BD=10,那么四邊形A1B1C1D1,的面積為_________.
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【題目】甲、乙兩車從A地開往B地,全程800km;所行的路程與時間的函數(shù)圖像如圖所示,下列問題:①乙車比甲車早出發(fā)2h;②甲車追上乙車時行駛了300km;③乙車的速度小于甲車速度;④甲車跑完全程比乙車跑完全程少用3h;以上正確的序號是_______.
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【題目】如圖,點O為正六邊形ABCDEF的中心,點M為AF中點,以點O為圓心,以OM的長為半徑畫弧得到扇形MON,點N在BC上;以點E為圓心,以DE的長為半徑畫弧得到扇形DEF,把扇形MON的兩條半徑OM,ON重合,圍成圓錐,將此圓錐的底面半徑記為r1;將扇形DEF以同樣方法圍成的圓錐的底面半徑記為r2,則r1:r2=_____.
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【題目】某市為了鼓勵居民節(jié)約用電,采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的電費,分兩檔收費:第一檔是當(dāng)月用電量不超過240度時實行“基礎(chǔ)電價”;第二檔是當(dāng)用電量超過240度時,其中的240度仍按照“基礎(chǔ)電價”計費,超過的部分按照“提高電價”收費.設(shè)每個家庭月用電量為x 度時,應(yīng)交電費為y 元.具體收費情況如折線圖所示,請根據(jù)圖象回答下列問題:
(1)“基礎(chǔ)電價”是____________元 度;
(2)求出當(dāng)x>240 時,y與x的函數(shù)表達式;
(3)若紫豪家六月份繳納電費132元,求紫豪家這個月用電量為多少度?
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