Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，P是射線BC上的一個動點，作PE⊥AP，PE交射線DC于點E，射線AE交射線BC于點F，設BP=x，CF=y．
（1）當sin∠APB=

4

5

時，求CE的長；
（2）如圖，當點P在邊BC上時（點P與點B、C不重合），求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域；
（3）當

PE

AP

=

1

2

時，求CF的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,勾股定理,矩形的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質和垂直的性質即可證明△PCE∽△ABP，根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求得CE的長；
（2）根據(jù)EC∥AB，求得△ECF∽△ABF，得出FC：FB=EC：AB，再利用（1）中相似三角形的性質即可證明CE：BP=PC：AB，從而求得y關于x的函數(shù)關系式．
（3）根據(jù)△PCE∽△ABP，得出

PC

AB

=

CE

BP

=

PE

AP

=

1

2

，從而求得PC=2，PB=3，進而求得CE=

3

2

，然后根據(jù)AB∥CD，得出

CF

BF

=

CE

AB

，從而求得CF的長．

解答：解：（1）在RT△APB中，AB=4，sin∠APB=

4

5

，
∴sin∠APB=

AB

AP

=

4

5

，
∴AP=5，
∴PB=

AP2-AB2

=3，
∴PC=BC-PB=5-3=2，
在矩形ABCD中，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠APN=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPE=∠BAP，
∵∠ECP=∠B=90°，
∴△PCE∽△ABP；
∴CE：BP=PC：AB，
∴CE=

PC•BP

AB

=

2×3

5

=

6

5

．
（2）∵EC∥AB，
∴△ECF∽△ABF，
∴FC：FB=EC：AB，
∵△PCE∽△ABP，
∴CE：BP=PC：AB，
即CE=

x(5-x)

5

，
∴

y

5+y

=

x(5-x)

52

，
整理得，y=-

5(x2-5x)

x2-5x+16

，
∴y關于x的函數(shù)關系式為y=-

5(x2-5x)

x2-5x+16

（0＜x＜5）．
（3）∵△PCE∽△ABP，
∴

PC

AB

=

CE

BP

=

PE

AP

=

1

2

，
∴PC=2，PB=3，
∴CE=

3

2

，
∵AB∥CD，
∴

CF

BF

=

CE

AB

，
即

CF

5+CF

=

3 2

4

，
解得CF=3．

點評：本題考查相似三角形的判定和性質，勾股定理以及矩形的性質．三角形相似的判定和性質是本題的重點．