Question

如圖，四邊形ABCD的邊AB在x軸上，A與O重合，CD∥AB，D（0，6

3

），直線AE與CD交于E，DE=6．以BE為折痕，把點A翻恰好與點C重合；動點P從點D出發(fā)沿著D→C→B→O路徑勻速運動，速度為每秒4個單位；以P為圓心的⊙P半徑每秒增加

3

個單位，當(dāng)點P在點D處時，⊙P半徑為

3

；直線AE沿y軸正方向向上平移，速度為每秒

3

3

個單位；直線AE、⊙P同時出發(fā)，當(dāng)點P到終點O時兩者都停止，運動時間為t；
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求當(dāng)直線AE與⊙P相切時t的值；
（3）在整個運動過程中直線AE與⊙P相交的時間共有幾秒？（直接寫出答案）

Answer 1

考點：圓的綜合題,等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),切線的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)勾股定理可求出AE長，易證△ABE是等邊三角形，從而得到AB=AE，就可求出點B的坐標(biāo)．
（2）由于點P在不同的線段上運動，需分情況討論，可分四種情況（點P在DE上、點P在EC上、點P在BC上、點P在OB上）進行討論，然后利用三角函數(shù)建立方程，就可求出相應(yīng)t的值．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，可得到直線AE與⊙P相交時t的范圍，就可求出相交時間．

解答：解：（1）連接BE，如圖1，
∵CD∥AB，
∴∠CDO+∠BOD=90°．
∵∠BOD=90°，
∴∠CDO=90°．
∵D（0，6

3

），
∴AD=6

3

．
∵DE=6，
∴AE=

AD2+DE2

=12．
∴sin∠AED=

AD

AE

=

3

2

．
∴∠AED=60°．
∵CD∥AB，
∴∠EAB=∠AED=60°．
由軸對稱的性質(zhì)可得：AE=EC，AB=BC，∠AEB=∠CEB=

180°-∠AED

2

=60°．
∴△ABE是等邊三角形．
∴AB=AE．
∵AE=12，
∴BC=AB=AE=EC=12．
∴B（12，0）．

（2）①當(dāng)圓心P在線段DE上時，過點P作PH⊥AE于H，如圖2，

則有DP=4t，OA=

3

3

t，AD=6

3

-

3

3

t，PH=

3

+

3

t．
在Rt△ADE中，
∵tan∠AED=

AD

DE

=

3

，
∴DE=6-

1

3

t．
∴PE=DE-DP=6-

1

3

t-4t．
在Rt△PHE中，
則有sin60°=

3 + 3 t

6-4t- 1 3 t

=

3

2

，
解得：t₁=

12

19

．
②當(dāng)圓心P在線段EC上時，過點P作PH⊥AE于H，如圖3，

同理可得：PH=

3

+

3

t，PE=DP-DE=4t-6+

1

3

t．
在Rt△PHE中，
則有sin60°=

3 + 3 t

4t-6+ 1 3 t

=

3

2

，
解得：t₂=

24

7

．
③當(dāng)圓心P在線段BC上時，過點P作PH⊥AE于H，過點C作CG⊥AE于G，如圖4，

∵AE∥BC，PH⊥AE，CG⊥AE，
∴GC=PH．（平行線之間的垂線段相等）
在Rt△EGC中，
∵GC=PH═

3

+

3

t，EC=DC-DE=18-（6-

1

3

t）=12+

1

3

t，
∴sin60°=

3 + 3 t

12+ 1 3 t

=

3

2

．
解得：t₃=6．
④當(dāng)圓心P在線段BO上時，

∵EC∥BF，EF∥BC，
∴四邊形ECBF是平行四邊形．
∴FB=EC=12+

1

3

t．
∵PB=4t-18-12=4t-30，
∴PF=FB-PB=42+

1

3

t-4t．
在Rt△FHP中，
∵∠HFP=60°，PH=

3

+

3

t，PF=42+

1

3

t-4t，
∴sin60°=

3 + 3 t

42-4t+ 1 3 t

=

3

2

．
解得：t₄=

120

17

∵點P在OB上，
∴

30

4

≤t≤

42

4

，即

15

2

≤t≤

21

2

．
∵

120

17

＜

15

2

，
∴t₄=

120

17

不符合要求，故舍去．
綜上所述：當(dāng)直線AE與⊙P相切時t的值為

12

19

秒或

24

7

秒或6秒．

（3）由（2）可知：當(dāng)

12

19

＜t＜

24

7

和6＜t≤

21

2

時，直線AE與⊙P相交．
則相交的時間為（

24

7

-

12

19

）+（

21

2

-6）=

1941

266

（秒）．
所以在整個運動過程中直線AE與⊙P相交的時間共有

1941

266

秒．

點評：本題在圖形的運動變化中，考查了圓的切線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理、平行線之間的垂線段相等、平行線的性質(zhì)等知識，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強，有一定的難度．