Question

已知等邊三角形ABC中，D為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F點(diǎn)．
（1）求證：BF=

1

3

BC；
（2）求證：EF=

1

4

AF．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）作DG∥BC交AF于點(diǎn)G，證明△DGE≌△BFE，可以證明DG=BF，然后證明DG是△AFC的中位線即可證得；
（2）根據(jù)（1）的證明即可證得．

解答：證明：（1）作DG∥BC交AF于點(diǎn)G．
∵DG∥BC，
∴△DGE∽△BFE，
又∵E是BD的中點(diǎn)，
∴

DG

BF

=

DE

BE

=1，即△DGE≌△BFE，則DG=BF，
∵DG∥BC，D是AC的中點(diǎn)，
∴DG是△ACF的中位線，
∴DG=

1

2

CF，
∴BF=

1

2

CF，即BF=

1

3

BC；
（2）∵△DGE≌△BFE，
∴EF=GE=

1

2

FG，
∵DG是△ACF的中位線，即G是AF的中點(diǎn)，則FG=

1

2

AF，
∴EF=

1

4

AF．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．