Question

【題目】綜合與探究：

如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為，為對稱軸右側(cè)拋物線的一個動點(diǎn)，直線與軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)．

（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，當(dāng)軸時，將以每秒1個單位長度的速度沿軸的正方向平移，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時停止平移．設(shè)平移秒時，在平移過程中與四邊形重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）如圖3，過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①當(dāng)時，求的值；

②試探究點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在值，使四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；（3）①或，②

【解析】

（1）先通過拋物線函數(shù)關(guān)系式求出與x軸的兩個交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)可求得直線AD的函數(shù)表達(dá)式，令x=0，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）先求出點(diǎn)P坐標(biāo)，通過平移可求得，從而可得OF的長為，當(dāng)時，重疊部分為△AOC，求出△AOC的面積即可，當(dāng)時，平移秒到的位置，交于點(diǎn)，如圖，重疊部分為四邊形，根據(jù)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可表示出的長，再根據(jù)四邊形的面積=的面積-的面積即可求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（3）①過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用點(diǎn)P、D的坐標(biāo)表示出DN、NQ的長，再根據(jù)平行得，結(jié)合列出方程求解即可；

②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，易證△PGF∽△COA，故可設(shè)PG=4k，FG=3k，由勾股定理得PF=5k，由菱形得AF=PF=5k，故可表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線函數(shù)關(guān)系式列出方程求解即可，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時，同理可得點(diǎn)P坐標(biāo)．

解：（1），

當(dāng)時，，解得，

∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，

∴，

∵，即，

∴，

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，

∵直線過點(diǎn)，

∴，解得，

∴，

當(dāng)時，，

∴．

（2）當(dāng)時，，

解得：，

∵點(diǎn)在拋物線對稱軸的右側(cè)，

∴ ，

∴，

∴，

當(dāng)時，

，

當(dāng)時，平移秒到的位置，交于點(diǎn)，如圖，

則，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴

=

．

綜上所述，當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

（3）①如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴，

∵，

∴，

，

∵軸，

∴，

當(dāng)時，，

∴，即，

當(dāng)時，

,

∵點(diǎn)在拋物線對稱軸的右側(cè)，

∴；

當(dāng)時，

，

∵點(diǎn)在拋物線對稱軸的右側(cè)，

∴，

綜上所述，或，

②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，

∵PF∥AC，

∴∠PFG=∠CAO

又∵∠PGF=∠COA=90°，

∴△PGF∽△COA，

∴，

∴，

∴，

∴設(shè)PG=4k，FG=3k，則PF=5k，

∵四邊形是菱形

∴AF=PF=5k，

又∵點(diǎn)A（-2，0），

∴點(diǎn)P（-2+8k，4k）

∵點(diǎn)P在拋物線的圖像上，

∴，

整理得

解得（舍去）

∴

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時，過點(diǎn)P作PK⊥x軸于點(diǎn)K，

∵PF∥AC，

∴∠PFK=∠CAO，

又∵∠PKF=∠COA=90°，

∴△PKF∽△COA，

∴，

∴，

∴，

∴設(shè)PK=4a，FK=3a，則PF=5a，

∵四邊形是菱形

∴AF=PF=5a，

又∵點(diǎn)A（-2，0），

∴點(diǎn)P（-2+2a，-4a）

∵點(diǎn)P在拋物線的圖像上，

∴，

整理得

解得（舍去）

∴

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

綜上所述，存在，使四邊形是菱形，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．