Question

已知：關(guān)于x的方程x²+（2m+4）x+m²+5m沒有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程mx²+（n-2）x+m-3=0有實(shí)數(shù)根，求證：該方程兩根的符號(hào)相同；
（3）設(shè)（2）中方程的兩根分別為α、β，若α：β=1：2，且n為整數(shù)，求m的最小整數(shù)值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根，代入計(jì)算即可得出答案；
（2）根據(jù)由于方程mx²+（n-2）x+m-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可知m≠0，當(dāng)m＞4時(shí)，得出兩根的積

m-3

m

＞0，從而得出方程的兩根符號(hào)相同；
（3）由已知得m≠0，α+β=-

n-2

m

，α•β=

m-3

m

，再根據(jù)α：β=1：2，得出3α=-

n-2

m

，2a²=

m-3

m

，再進(jìn)行整理得出（n-2）²=

9

2

m（m-3），根據(jù)m＞4，且n為整數(shù)，得出m為整數(shù)，即可得出答案．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程x²+（2m+4）x+m²+5m沒有實(shí)數(shù)根，
∴△=（2m+4）²-4×1×（m²+5m）＜0，
∴m＞4，
∴m的取值范圍是m＞4；

（2）由于方程mx²+（n-2）x+m-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可知m≠0，
當(dāng)m＞4時(shí)，

m-3

m

＞0，即方程的兩根之積為正，
故方程的兩根符號(hào)相同．  

（3）由已知得：m≠0，α+β=-

n-2

m

，α•β=

m-3

m

．
∵α：β=1：2，
∴3α=-

n-2

m

，2a²=

m-3

m

．

(n-2)2

9m2

=

m-3

2m

，即（n-2）²=

9

2

m（m-3）．
∵m＞4，且n為整數(shù)，
∴m為整數(shù)；
當(dāng)m=6時(shí)，（n-2）²=

9

2

×6×3=81．
∴m的最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．