Question

已知△ABC中，BC=4，A是三角形中的一個動點．
（1）若∠BAC=90°，請求出當AB，AC各取多少時，△ABC面積最大，并求出這個最大面積；
（2）若∠BAC=45°，請說明三角形面積是否存在最大值．如果有，請求出這個最大面積；如果沒有，請說明理由；
（3）若∠BAC=60°，請說明三角形面積是否存在最大值．如果有，請求出這個最大面積；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：（1）利用BC為直徑作⊙O，可得出當AB=AC=2

2

時，△ABC面積最大，利用S_△ABC=

1

2

•BC•AO求解即可．
（2）利用BC為一條弦作⊙O，且∠BAC=45°，當AD⊥BC且過O時，△ABC面積最大，運用S_△ABC=

1

2

•BC•AD求解即可．
（3）利用BC為一條弦作⊙O，且∠BAC=60°，當AD⊥BC且過O時，△ABC面積最大，利用S_△ABC=

1

2

•BC•AD求解即可．

解答：解：（1）如圖1，以BC為直徑作⊙O，

∵∠BAC=90°，
∴當AB=AC=2

2

時，△ABC面積最大，
∴S_△ABC=

1

2

•BC•AO=

1

2

×4×2=4．
（2）如圖2，以BC為一條弦作⊙O，且∠BAC=45°，

當AD⊥BC且過O時，△ABC面積最大，
S_△ABC=

1

2

•BC•AD=

1

2

×4×

BD

tan22.5°

=2×

2

tan22.5°

=

4

tan22.5°

．
（3）如圖3，以BC為一條弦作⊙O，且∠BAC=60°，

當AD⊥BC且過O時，△ABC面積最大，
S_△ABC=

1

2

•BC•AD=

1

2

×4×2

3

=4

3

．

點評：本題主要考查了面積及等積變化，解題的關(guān)鍵是利用同弦所對的圓周角相等來說明三角形的變化情況．確定△ABC面積最大的情況．