Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于A，B兩點，y與軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．已知A（﹣1，0），C（0，3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在P點，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）在BC上方的拋物線上，是否存在點E，使得△BCE的面積最大？若存在，求出點E的坐標(biāo)和△BCE的面積最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標(biāo)有四個，分別是（1，0）或（1，6）或（1， ）或（1，﹣）；（3）△BCE的面積最大為，此時E（， ）．

【解析】

（1）把A、C兩點的坐標(biāo)代入y=-x2+mx+n，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)△PCD是以CD為腰的等腰三角形時，可分兩種情況討論：①PC=CD；②PD=CD．設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式列出方程求解即可；

（3）設(shè)E（x，-x2+2x+3），過E作EF∥y軸，交直線BC于點F，交x軸于N，過C作CM⊥EF于M，根據(jù)S△BCE=S△CEF+S△BEF即可得出△BCE的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，進而求得E的坐標(biāo)和△BCE的面積最大值．

（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+mx+n，

得：，解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴對稱軸為直線x＝1，

∴D（1，0）．

設(shè)點P的坐標(biāo)為（1，t），

∵C（0，3），

∴CD2＝12+32＝10．

當(dāng)△PCD是以CD為腰的等腰三角形時，可分兩種情況討論：

①若PC＝CD，則12+（t﹣3）2＝10，解得t＝0或6，

所以點P的坐標(biāo)為（1，0）或（1，6）；

②若PD＝CD，則t2＝10，解得t＝±，

所以點P的坐標(biāo)為（1，）或（1，﹣）；

綜上所述，點P的坐標(biāo)有四個，分別是（1，0）或（1，6）或（1，）或（1，﹣）；

（3）當(dāng)y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0），

設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，

把B（3，0）、C（0，3）代入得：，

解得：，

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3．

如圖，過E作EF∥y軸，交直線BC于點F，交x軸于N，過C作CM⊥EF于M，

設(shè)E（x，﹣x2+2x+3），則F（x，﹣x+3），

∴EF＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x（0＜x＜3），

∵S△BCE＝S△CEF+S△BEF

＝EFCM+EFBN

＝EF（CM+BN）

＝EFOB

＝×3（﹣x2+3x）

＝

＝，

∴當(dāng)x＝時，△BCE的面積最大為，此時E（，）．