Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，點(diǎn)D在邊AC上且BD平分∠ABC，設(shè)CD=x．

（1）求證：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°-cos72°的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）由等腰三角形ABC中，頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出∠DBC的度數(shù)，得到∠DBC=∠A，再由∠C為公共角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形BCD相似；

（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BC，根據(jù)AD+DC表示出AC，由（1）兩三角形相似得比例求出x的值即可；

（3）過B作BE垂直于AC，交AC于點(diǎn)E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36°與cos72°的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．

試題解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠ABD=36°，

∴AD=BD，

∵BD=BC，

∴AD=BD=CD=1，

設(shè)CD=x，則有AB=AC=x+1，

∵△ABC∽△BCD，

∴，即，

整理得：x2+x-1=0，

解得：x1=，x2=（負(fù)值，舍去），

則x=；

（3）過B作BE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，

∵BD=CD，

∴E為CD中點(diǎn)，即DE=CE=，

在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，

在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，

則cos36°-cos72°=-=．