Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD、BC、CD為⊙O的切線，設(shè)⊙O的半徑為6cm，梯形ABCD的周長為42cm，
（1）求證：OC⊥OD；
（2）求證：OE²=AD•BC；
（3）求AD和BC的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),切線長定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明△OAD≌△OED，進而證明∠DOC=90°問題即可解決．
（2）根據(jù)射影定理即可解決問題；
（3）由（2）的結(jié)論，結(jié)合梯形的周長，即可解決問題．

解答：解：（1）∵DA、DE分別是⊙O的切線，
∴∠OAD=∠OED-90°，DA=DE；
在△OAD與△OED中，
∵

OD=OD DA=DE

，
∴△OAD≌△OED（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理可證：∠BOC=∠EOC，
∴∠DOC=∠AOD+∠BOC=

1

2

×180°=90°，
即OC⊥OD．

（2）∵AD、DC、BC均為⊙O的切線，
∴AD=ED，BC=CE；OE⊥CD；
由射影定理得：OE²=ED•EC，
∴OE²=AD•BC．

（3）設(shè)AD=x，BC=y，
由（2）知：xy=36  ①；
∵梯形ABCD的周長為42cm，
∴2（x+y）+12=42，
即 x+y=15 ②，
聯(lián)立①、②并解得：x=3，y=12或x=12，y=3，
即AD和BC的長為3和12或12和3．

點評：該命題以圓為載體，在考查切線的性質(zhì)的同時，還滲透了對勾股定理、射影定理等幾何知識點的考查；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．