Question

如圖，點O在Rt△ABC的斜邊AB上，⊙O切AC邊于點E，切BC邊于點D，連結OE，如果由線段CD、CE及劣弧ED圍成的圖形（陰影部分）面積與△AOE的面積相等，那么

2AC

BC

的值為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質,扇形面積的計算

專題：

分析：連接OD，則四邊形OECD是正方形，根據(jù)題意知道S_陰影部分=S_{正方形OECD}-S_扇形ODE=OE²-

1

4

π•OE²，S_△AEO=

1

2

OE•AE，而OE∥CB，由此即可得出

2AC

BC

的值．

解答：
解：如圖，連接OD，
∵⊙O切AC邊于點E，切BC邊于點D，
∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°，
∴四邊形OECD是正方形，
而S_陰影部分=S_{正方形OECD}-S_扇形ODE=OE²-

1

4

πOE² S_△AEO=

1

2

OE•AE，
即：OE²（1-

1

4

π）=

1

2

OE•AE，
∴OE：AE=

1

2

：（1-

π

4

），
∵OE∥BC，
∴

BC

AC

=

OE

AE

=

1

2

：（1-

π

4

）．
∴

2AC

BC

=4-π．
故答案為4-π．

點評：此題主要考查正方形的判定和性質，扇形的面積公式，直角三角形的面積公式，平行線的性質，綜合性強；添輔線是解題的關鍵．