Question

【題目】（舊知再現(xiàn)）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 .

如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則 .

（問題創(chuàng)新）圓內(nèi)接四邊形的邊會(huì)有特殊性質(zhì)嗎？

如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行深入研究發(fā)現(xiàn)：

證明：如圖③，作，交于點(diǎn).

∵，

∴，

∴ 即 （請(qǐng)按他們的思路繼續(xù)完成證明）

（應(yīng)用遷移）如圖④，已知等邊外接圓，點(diǎn)為 上一點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】【舊知再現(xiàn)】互補(bǔ)， 110；【問題創(chuàng)新】見解析；【應(yīng)用遷移】

【解析】

【重溫舊知】根據(jù)圓周角定理，得出，，化簡(jiǎn)得出，利用等腰三角形的兩個(gè)底角相等和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，即可得；
【提出問題】所得等式兩邊加上ADBC，右邊變形后即可得證；
【應(yīng)用遷移】由上題的結(jié)論，根據(jù)為等邊三角形，可得AB=AC=BC，代入化簡(jiǎn)即可求出PA的長(zhǎng).

（1）如圖示：

連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理，

則有：，

∴

∴圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；

∵，

∴在等腰三角形ABD中，

∴

（2）證明：如圖，

∵

∴，即，

又∵，

∴

∴，即

∴，

∴，

（3）

由（2）可知

∵是等邊三角形，

∴，

∴，

∴即.