【題目】如圖:在△ABC中,BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延長線上截取CG=AB,連接AD、AG.

(1)求證:AD=AG;
(2)AD與AG的位置關(guān)系如何,請說明理由.

【答案】
(1)證明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,

∴∠HFB=∠HEC=90°,又∵∠BHF=∠CHE,

∴∠ABD=∠ACG,

在△ABD和△GCA中

,

∴△ABD≌△GCA(SAS),

∴AD=GA(全等三角形的對應(yīng)邊相等)


(2)位置關(guān)系是AD⊥GA,

理由為:∵△ABD≌△GCA,

∴∠ADB=∠GAC,

又∵∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,

∴∠AED=∠GAD=90°,

∴AD⊥GA.


【解析】(1)由BE垂直于AC,CF垂直于AB,利用垂直的定義得∠HFB=∠HEC,由得對頂角相等得∠BHF=∠CHE,所以∠ABD=∠ACG.再由AB=CG,BD=AC,利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACG全等,由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AD=AG,(2)利用全等得出∠ADB=∠GAC,再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE,又∠GAC=∠GAD+∠DAE,利用等量代換可得出∠AED=∠GAD=90°,即AG與AD垂直.

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