Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D開(kāi)始沿對(duì)角線DB勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥CD，與CD交于點(diǎn)E，連接PQ，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），0＜t≤5．

（1）當(dāng)PQ∥CD時(shí)，求t的值；

（2）設(shè)四邊形PQEC的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使∠PQE＝60°時(shí)，求四邊形PQEC的面積；

（4）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ+QE的值最��？若存在，請(qǐng)求t的值，并求出此時(shí)PQ+QE的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）S＝t+12；（3）；（4）存在，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理得：，代入計(jì)算可得t的值；

（2）先根據(jù)三角函數(shù)表示PH和EQ、DE的長(zhǎng)，根據(jù)面積差表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖2，作輔助線，構(gòu)建相似三角形和60度的直角三角形，根據(jù)平行 線分線段成比例定理列式為：，可得MQ＝BM＝，證明△QMP∽△FCP，計(jì)算FC的長(zhǎng)，根據(jù)FE＝QE，列方程可得t的值，代入（2）中S與t的關(guān)系式可得結(jié)論；

（4）過(guò)Q作QF⊥AD于F，當(dāng)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，PQ+QE的值最小，最小值就是菱形的高線PF．

解：（1）由題意得：PB＝DQ＝t，

∵BD＝8，

∴BQ＝8﹣t，

當(dāng)PQ∥CD時(shí)，，

，t＝；

（2）如圖1，過(guò)P作PH⊥BD于H，連接AC交BD于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠BOC＝∠COD＝90°，

∵AB＝BC＝CD＝5，OB＝OD＝BD＝4，

∴OC＝3，

∴sin∠HBP＝，

∵PB＝t，

∴PH＝t，同理得EQ＝，

∴S＝S△BCD﹣S△BPQ﹣S△DEQ＝；

（3）如圖2，過(guò)Q作QM∥CD，交BC于M，延長(zhǎng)QP與EC交于點(diǎn)F，

∴，即，

∴MQ＝BM＝，

∴，

∵MQ∥FC，

∴△QMP∽△FCP，

∴，即，

Rt△FQE中，∵∠PQE＝60°，

由（2）知：四邊形PQEC的面積＝，

∴四邊形PQEC的面積＝；

（可以過(guò)P作CD的平行線）；

（4）存在，

如圖4，過(guò)Q作QF⊥AD于F，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD平分∠ADC，

∵QE⊥CD，

∴QE＝QF，

∴當(dāng)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，PQ+QE的值最小，

∵AD∥BC，

∴PF⊥BC，

S菱形ABCD＝PFBC＝，

∵PF＝PQ+FQ＝PQ+EQ＝

∴存在，當(dāng)t＝s時(shí)，使PQ+QE的值最小，最小值是．