Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=mx2－2mx +m－4 (m≠0)的頂點(diǎn)為A,與x軸交于B,C兩點(diǎn)(B在點(diǎn)C左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)若BC=4,

①求拋物線的解析式;

②將拋物線在C,D之間的部分記為圖象G (包含C,D兩點(diǎn)) . 若過點(diǎn)A的直線y= kx+ b(k≠0)與圖象G有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）(1,－4)；（2）①y= x2－2x－3；②-1≤k<0或0<k≤2

【解析】

（1）把一般式配成頂點(diǎn)式，即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)對(duì)稱軸，先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；

②先求出點(diǎn)D（0，-3），畫出拋物線，通過畫圖可得當(dāng)k＞0時(shí)，直線y=kx+b過A、C時(shí)，k最大；當(dāng)k＜0，直線y=kx+b過A、D時(shí)，k最大，然后分別求出兩直線解析式，即可得到k的范圍．

解：（1）y=mx2－2mx +m－4

=m(x2－2x+1)－4

=m(x－1)2－4.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，－4) .；

（2）①由(1)得，拋物線的對(duì)稱軸為：x= 1.

∵拋物線與x軸交于B，C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè))，BC=4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0) .

∴m+ 2m +m－4=0

∴m=1.

∴拋物線的解析式為：y= x2－2x－3；

②由①可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(0，－3).

當(dāng)直線過點(diǎn)A， D時(shí)，解得：k=－1.

當(dāng)直線過點(diǎn)A， C時(shí)，解得：k=2.

結(jié)合函數(shù)的圖象可知，k的取值范圍為：－1≤k<0或0<k≤2.