Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A9m,0、Bm,0m0，以AB為直徑的⊙M交y軸正半軸于點(diǎn)C，CD是⊙M的切線，交x軸正半軸于點(diǎn)D，過(guò)A作AECD于E，交⊙于F.

（1）求C的坐標(biāo)；（用含m的式子表示）

（2）①請(qǐng)證明：EFOB；②用含m的式子表示AFC的周長(zhǎng)；

（3）若，，分別表示的面積，記，對(duì)于經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值為a，求此二次函數(shù)的解析式.

Answer 1

【答案】（1）C(0,3m)；

（2）①證明見(jiàn)解析；②8m+；

(3) 或

【解析】

(1)連接MC，先得出MC=5m，MO=4m，再由勾股定理得出OC=3m，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）①由弦切角定理得∠ECF=∠EAC,再證出FC=BC，再證出△CEF≌△COB，可得到EF=OB;

②由△CEF≌△COB可得AE=AO，用勾股定理求出AC、BC.再用等量代換計(jì)算可得到AFC的周長(zhǎng)

（3）先用三角函數(shù)求出OD，再用勾股定理列出方程，得到m=1，從而求得的面積，再求出k值。再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出方程求得a的值，從而問(wèn)題得解。

解：（1）連接MC，

∵A9m,0、Bm,0m0，

∴AB=10m,MC=5m，MO=4m

由勾股定理得

解得：OC=3m

∴C(0,3m)

（2）①證明：連接CF，

∵CE是⊙M的切線，

∴∠ECF=∠EAC,

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°

∴∠CAB=∠BCO,

∵A,F,C,B共圓，

∴∠EFC=∠OBC,

又∵AE⊥CE

∴∠CEF=∠BOC=90°,

∴∠ECF=∠BCO,

∴∠EAC=∠CAB

∴CF=CB

在△CEF和△COB中

∴△CEF≌△COB

∴EF=BO

②∵△CEF≌△COB

∴CE=CO,

∴△ACE≌△ACO(HL)

∴AE=AO

∵

AFC的周長(zhǎng)=AF+FC+AC=AE-EF+FC+AC

=AO-BO+FC+AC

=9m-m++

=8m+

(3)∵CD是⊙M的切線，

易證∠OCD=∠OMC

∴sin∠OMC= sin∠OCD

即

得

在Rt△OCD中，

而CO=3m

∴m=1

∴AF=8,CE=3,

∴

二次函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，則c=0

得

對(duì)稱軸為直線

當(dāng)時(shí)，即

分兩種情況，a＜0時(shí)，由函數(shù)的性質(zhì)可知，時(shí)，y=a，

∴

解得

∴此二次函數(shù)的解析式為：

A＞0時(shí)，由函數(shù)的性質(zhì)可知，x=4時(shí)，y=a，

∴a=16a-4

解得

∴此二次函數(shù)的解析式為：

綜上，此二次函數(shù)的解析式為：或

故答案為：或