Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若AE=2，DE=1，求CD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OA，證明OA⊥AE即可．因為AE⊥CD，所以需證OA∥CE．根據(jù)角平分線定義和等腰三角形性質(zhì)可證∠OAD=∠ODA=∠ADE可證；
（2）通過證明Rt△BAD∽Rt△AED，再利用對應(yīng)邊成比例關(guān)系從而求出⊙O半徑的長．．

解答：（1）證明：連接OA．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA．
∵∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°．
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線．

（2）解：在直角△ADE中，AD=

AE2+AD2

=

5

cm．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵∠AED=90°，∠ADE=∠ADB，
∴Rt△BAD∽Rt△AED．
∴

DE

AD

=

AD

BD

=

AE

AB

．
∴BD=

AD2

DE

=5cm，AB=

AD•AE

DE

=2

5

cm，
由切割線定理得：AE²=ED•EC，
∴EC=4，
∴CD=3．

點評：本題考查切線的判定．已知直線經(jīng)過圓上一點，證直線是圓的切線，需連接圓心和該點，證明直線與連線垂直．