Question

【題目】小孟同學(xué)將等腰直角三角板ABC（AC＝BC）的直角頂點(diǎn)C放在一直線m上，將三角板繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)向這條直線作垂線AD，BE，垂足為D，E．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A，B都在直線m上方時(shí)，猜想AD，BE，DE的數(shù)量關(guān)系是　 　；

（2）將三角板ABC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，點(diǎn)A在直線m上方，點(diǎn)B在直線m下方．（1）中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)你寫出AD，BE，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（3）將三角板ABC繼續(xù)繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在直線m的下方，點(diǎn)B在直線m的上方時(shí)，請(qǐng)你畫出示意圖，按題意標(biāo)好字母，直接寫出AD，BE，DE的數(shù)量關(guān)系結(jié)論　 　．

Answer 1

【答案】（1）DE＝BE+AD；（2）DE＝AD﹣BE，證明詳見解析；（3）DE＝AD+BE或DE＝|AD﹣BE|．

【解析】

（1）先判斷出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用線段的和即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用線段的差即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用線段的和差即可得出結(jié)論．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∴△ACD≌△CBE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴DE＝CD+CE＝BE+AD；

故答案為：DE＝BE+AD；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∴△ACD≌△CBE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴

（3）如圖3，

當(dāng)點(diǎn)A，B在直線m同側(cè)時(shí)，同（1）的方法得，△ACD≌△BCE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴DE＝CE+CD＝AD+BE，

Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)A，B在直線m異側(cè)時(shí)，如圖4，同（2）的方法得，△ACD≌△BCE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴

Ⅱ、如圖5，

同Ⅰ的方法得，

故答案為：DE＝AD+BE或