Question

如圖，已知函數(shù)y=

4

3

x與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A．將y=

4

3

x的圖象向下平移6個(gè)單位后與雙曲線y=

k

x

交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C．若

OA

CB

=2，則k的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),一次函數(shù)圖象與幾何變換,反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移問題由y=

4

3

x的圖象向下平移6個(gè)單位得到直線BC的解析式為y=

4

3

x-6，然后把y=0代入即可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；作AE⊥x軸于E點(diǎn)，BF⊥x軸于F點(diǎn)，易證得Rt△OAE∽△RtCBF，則

OA

CB

=

AE

BF

OE

CF

=2，若設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

4

3

a），則CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（

9

2

+

1

2

a，

2

3

a），然后根據(jù)反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得a•

4

3

a=（

9

2

+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=3，于是可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式．

解答：解：∵y=

4

3

x的圖象向下平移6個(gè)單位后與雙曲線y=

k

x

交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，
∴直線BC的解析式為y=

4

3

x-6，
把y=0代入得

4

3

x-6=0，解得x=

9

2

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

9

2

，0）；
作AE⊥x軸于E點(diǎn)，BF⊥x軸于F點(diǎn)，如圖，
∵OA∥BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∴Rt△OAE∽R(shí)t△CBF，
∴

OA

BC

=

AE

BF

=

OE

CF

=2，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

4

3

a），則OE=a，AE=

4

3

a，
∴CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，
∴OF=OC+CF=

9

2

+

1

2

a，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（

9

2

+

1

2

a，

2

3

a），
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B都在y=

k

x

的圖象上，
∴a•

4

3

a=（

9

2

+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），
把A（3，4）代入y=

k

x

得k=3×4=12，
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象的平移問題．