Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中， ， ，將矩形沿直線EF折疊．使得點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處，且點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上（含端點(diǎn)），連接CF.

（1）當(dāng) 時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)AF取得最小值時(shí)，求折痕EF的長(zhǎng)；

（3）連接CF，當(dāng) 是以CG為底的等腰三角形時(shí)，直接寫出BG的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)折疊得出AE=EG，據(jù)此設(shè)AE=EG=x，則有BE=6-x，由勾股定理求解可得；
（2）由FG⊥BC時(shí)FG的值最小，即此時(shí)AF能取得最小值，顯然四邊形AEGF是正方形，從而根據(jù)勾股定理可得答案；
（3）由△CFG是以FG為一腰的等腰三角形，可知應(yīng)分兩種情況討論：①FG=FC；②FG=GC；分別求解可得．

（1）由折疊易知，，設(shè)，則有，

由勾股定理，得，解得，即

（2）由折疊易知，，而當(dāng)時(shí)，FG的值最小，即此時(shí)AF能取得最小值，

當(dāng)時(shí)，FG的值最小，即此時(shí)AF能取得最小值，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，

此時(shí)四邊形AEGF是正方形，

折痕.

（3）由△CFG是以FG為一腰的等腰三角形，可知應(yīng)分兩種情況討論：
①當(dāng)FG=FC時(shí)，如圖2，過(guò)F作FH⊥CG于H，

則有：AF=FG=FC，CH=DF=GH
設(shè)AF=FG=FC=x，則DF=10-x=CH=GH
在Rt△CFH中
∵CF2=CH2+FH2
∴x2=62+（10-x）2
解得：x=，

∴DF=CH=GH=10-，
即BG=10-×2=，
②當(dāng)FG=GC時(shí)，則有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；
∴GH=x-（10-x）=2x-10，
在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，
化簡(jiǎn)得：3x2-40x+136=0，
∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，
∴此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
綜上可知：BG=．