Question

AD是△ABC的中線，將BC邊所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，交邊AB于點(diǎn)M，交射線AC于點(diǎn)N，設(shè)AM=xAB，AN=yAC （x，y≠0）．
（1）如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形且α=30°時(shí)證明：△AMN∽△DMA；
（2）如圖2，證明：

1

x

+

1

y

=2；
（3）當(dāng)G是AD上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)G不與A重合），過點(diǎn)G的直線交邊AB于M′，交射線AC于點(diǎn)N′，設(shè)AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），猜想：

1

x′

+

1

y′

=

2

n

是否成立？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）利用“兩角法”證得兩個(gè)三角形相似；
（2）如圖1，過點(diǎn)C作CF∥AB交MN于點(diǎn)F，構(gòu)建相似三角形：△CFN∽△AMN，利用該相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得

NC

NA

=

CF

AM

．通過證△CFD≌△BMD得到BM=CF，利用比例的性質(zhì)和相關(guān)線段的代入得到

yAC-AC

yAC

=

AB-xAB

xAB

，即

1

x

+

1

y

=2；
（3）猜想：

1

x′

+

1

y′

=

2

n

 成立．需要分類討論：①如圖乙，過D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延長線于N．由平行線截線段成比例得到

AM′

AM

=

AG

AD

=

AN′

AN

，易求x=

x′

n

，y=

y′

n

，利用（2）的結(jié)果可以求得

1

x′

+

1

y′

=

2

n

；
②如圖丙，當(dāng)過點(diǎn)D作M₁N₁∥M'N'交AB的延長線于M₁，交AC1于N₁，則同理可得

1

x′

+

1

y′

=

2

n

．

解答：解：（1）證明：
如圖1，在△AMD中，
∵AD是△ABC的中線，△ABC為等邊三角形，
∴AD⊥BC，∠MAD=30°，
又∵α=∠BDM=30°，
∴∠MDA=60°
∴∠AMD=90°，
在△AMN中，∠AMN=90°，∠MAN=60°，
∴∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA，
∴△AMN∽△DMA；

（2）證明：如圖甲，過點(diǎn)C作CF∥AB交MN于點(diǎn)F，則△CFN∽△AMN

∴

NC

NA

=

CF

AM

．
∵CF∥BM，
∴∠B=∠DCF，
在△CFD和△BMD中，

∠B=∠CDF BD=CD ∠BDM=∠CDF

∴△CFD≌△BMD，
∴BM=CF，
∴

AN-AC

AN

=

BM

AM

=

AB-AM

AM

，
∴

yAC-AC

yAC

=

AB-xAB

xAB

，即

1

x

+

1

y

=2；

（3）猜想：

1

x′

+

1

y′

=

2

n

 成立．理由如下：
①如圖乙，過D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延長線于N，
則

AM′

AM

=

AG

AD

=

AN′

AN

∴

x′

x

=n=

y′

y

，
即x=

x′

n

，y=

y′

n

由（2）知

1

x

+

1

y

=2
∴

1

x′

+

1

y′

=

2

n

②如圖丙，當(dāng)過點(diǎn)D作M₁N₁∥M'N'交AB的延長線于M₁，交AC1于N₁，則同理可得

1

x′

+

1

y′

=

2

n

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的綜合題型．此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線截線段成比例等．此題的難點(diǎn)在于輔助線的作法，解題時(shí)，需要認(rèn)真的思考才能理清解題思路．