Question

【題目】如圖，點E是四邊形ABCD的對角線BD上一點，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.

①試說明BE·AD＝CD·AE；
②根據(jù)圖形特點，猜想 可能等于哪兩條線段的比?并證明你的猜想，（只須寫出有線段的一組即可）

Answer 1

【答案】解：①∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，

即∠DAC=∠BAE，

∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，

∠ADC=∠ADB+∠BDC，

又∵∠DAE=∠BDC，

∴∠AEB=∠ADC，

∴△BEA∽△CDA，

∴ = ，

即BE·AD=CD·AE；

②猜想 = 或（ ），

由△BEA∽△CDA可知， = ，即 = ，

又∵∠DAE=∠BAC，

∴△BAC∽△EAD，

∴ = 或（ ）

【解析】①根據(jù)∠BAC=∠DAE證明∠DAC=∠BAE，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB=∠ADB+∠DAE，∠ADC=∠ADB+∠BDC，由∠BDC＝∠DAE，證出∠AEB=∠ADC，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似，得對應(yīng)邊成比例，即可證得結(jié)論。
（2）根據(jù)已知證明△BEA∽△CDA和△BAC∽△EAD，即可得出結(jié)論。
【考點精析】利用三角形的外角和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．