【題目】已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的延長線(如圖2)于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),求證:△APQ∽△ABC;
(2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),求AP的長.
【答案】解:(1)證明:∵∠A+∠APQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠APQ=∠C。
在△APQ與△ABC中,∵∠APQ=∠C,∠A=∠A,
∴△APQ∽△ABC。
(2)在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5。
∵∠BPQ為鈍角,∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),只可能是PB=PQ。
(I)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),如題圖1所示,
由(1)可知,△APQ∽△ABC,
∴,即,解得:。
∴。
(II)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí),如題圖2所示,
∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P。
∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,∴∠AQB=∠A。∴BQ=AB。
∴AB=BP,點(diǎn)B為線段AB中點(diǎn)。
∴AP=2AB=2×3=6。
綜上所述,當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),AP的長為或6。
【解析】
試題(1)由兩對(duì)角相等(∠APQ=∠C,∠A=∠A),證明△APQ∽△ABC。
(2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),有兩種情況,需要分類討論.
(I)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),如題圖1所示.由三角形相似(△APQ∽△ABC)關(guān)系計(jì)算AP的長;
(II)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí),如題圖2所示.利用角之間的關(guān)系,證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn),從而可以求出AP。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=5,AB=8,AB⊥x軸,垂足為A,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D.
(1)若OA=AB,求k的值;
(2)若BC=BD,連接OC,求△OAC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)(x>0)的圖象交于A(2,﹣1),B(,n)兩點(diǎn),直線y=2與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩塊全等的三角板如圖1擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)將圖1中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn),點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn),求證:CP1=CQ;
(2)在圖2中,若AP1=a,則CQ等于多少?
(3)將圖2中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C(如圖3),點(diǎn)P2是A2C與AP1的交點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí),有△AP1C∽△CP1P2?這時(shí)線段CP1與P1P2之間存在一個(gè)怎樣的數(shù)量關(guān)系?.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于點(diǎn)O,E為AC上一點(diǎn),且AE=OC.
(1)求證:AP=AO;
(2)求證:PE⊥AO;
(3)當(dāng)AE=AC,AB=10時(shí),求線段BO的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8.D、E分別是AC、BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AD﹣DE﹣EB以每秒3個(gè)單位長的速度向B勻速運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒2個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒,(t>0)
(1)當(dāng)t= 時(shí),點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),求△BPQ的面積;
(3)設(shè)△BPQ的面積為S,求出點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)請(qǐng)直接寫出PQ∥DB時(shí)t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC以每秒4個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng),如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間t(s)如何變化?寫出函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾何體的三視圖相互關(guān)聯(lián).已知直三棱柱的三視圖如圖,在△PMN中,∠MPN=90°,PN=4,sin∠PMN= .
(1)求BC及FG的長;
(2)若主視圖與左視圖兩矩形相似,求AB的長;
(3)在(2)的情況下,求直三棱柱的表面積.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線y1=2x﹣2與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),與雙曲線y2=(x>0)交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD⊥x軸,垂足為D,且OA=AD,則以下結(jié)論:①當(dāng)x>0時(shí),y1隨x的增大而增大,y2隨x的增大而減小;②;③當(dāng)0<x<2時(shí),y1<y2;④如圖,當(dāng)x=4時(shí),EF=4.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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