Question

如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)M是對角線AC上一點(diǎn)，且MC=MD．連接DM并延長，交邊BC于點(diǎn)F．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）若DF⊥BC，求證：點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由在菱形ABCD中，MC=MD，易得∠1=∠ACD=∠2，即可證得：∠1=∠2；
（2）首先連接BD，由DF⊥BC，易求得∠BCD=60°，即可得△BCD是等邊三角形，然后由三線合一，證得點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵M(jìn)C=MD，
∴∠ACD=∠2，
∴∠1=∠2；

（2）連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACD，BC=CD，
∵∠ACD=∠2，
∴∠ACB=∠ACD=∠2，
∵DF⊥BC，
∴3∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BF=CF，
即點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)．

點(diǎn)評：此題考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．