Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（4，5）兩點，過點B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點M的橫坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）過點O作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)勾股定理可求出AB的長，進而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO=

OH

BH

=

2

2

×

2

9 2

=

1

9

．
（3）設(shè)點M的坐標為（x，x²-2x-3），點N的坐標為（x，x+1），在分兩種情況：當點M在點N的上方時和當點M在點N的下方時，則四邊形NMCB是平行四邊形討論求出符合題意的點M的橫坐標即可．

解答：解：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x²+bx+c，得

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．
在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，
∴AC=BC．
∴∠BAC=45°，AB=

AC2+BC2

=5

2

．
如圖1，過點O作OH⊥AB，垂足為H．

在Rt△AOH中，OA=1，
∴AH=OH=OA×sin45°=1×

2

2

=

2

2

，
∴BH=AB-AH=5

2

-

2

2

=

9 2

2

，
在Rt△BOH中，tan∠ABO=

OH

BH

=

2

2

×

2

9 2

=

1

9

．

（3）直線AB的解析式為：y=x+1．
設(shè)點M的坐標為（x，x²-2x-3），
點N的坐標為（x，x+1），
①如圖2，當點M在點N的上方時，

則四邊形MNCB是平行四邊形，MN=BC=5．
由MN=（x²-2x-3）-（x+1）=x²-2x-3-x-1=x²-3x-4，
解方程x²-3x-4=5，
得x=

3+3 5

2

或x=

3-3 5

2

．
②如圖3，當點M在點N的下方時，則四邊形NMCB是平行四邊形，NM=BC=5．

由MN=（x+1）-（x²-2x-3）
=x+1-x²+2x+3=-x²+3x+4，
解方程-x²+3x+4=5，
得x=

3+ 5

2

或x=

3- 5

2

．
所以符合題意的點M有4個，
其橫坐標分別為：

3+3 5

2

，

3-3 5

2

，

3+ 5

2

，

3- 5

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程以及拋物線的性質(zhì)以及最值的求解方法．解答（3）題時要分類討論．