Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已點(diǎn)A(6，0)，點(diǎn)B(0，6)，動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過D作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點(diǎn)D(其中點(diǎn)C、D按順時(shí)針方向排列)，連接AB．

(1)當(dāng)OC//AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為

(2)連接AC、BC，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．

(3)連接AD，當(dāng)OC//AD時(shí)，

①求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②直線BC是否為⊙O的切線？請(qǐng)作出判斷，并說明理由．

 

 

Answer 1

(1) 45°或135°；(2) 當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為9+18．(3) （-，），（，）；是，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，有∠BOC=∠OBA=45°；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，從而得出答案；

（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=OA=6，根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長(zhǎng)線交⊙O于C，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出OE，然后計(jì)算△ABC的面積；

（3）①過C點(diǎn)作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽R(shí)t△AOD，則，即，得出CF=，再利用勾股定理計(jì)算出OF=，則可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；

②由于OC=3，OF=，得出∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據(jù)“SAS”判斷△BOC≌△AOD，從而得出∠BCO=∠ADO=90°，再根據(jù)切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．

（1）∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），

∴OA=OB=6，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，∠BOC=∠OBA=45°，

當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，∠BOC=180°-∠OBA=135°，

∴∠OBA=45°或135°；

(2) ∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，

過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長(zhǎng)線交⊙O于C，

如圖：此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離最大值為CE的長(zhǎng)，

∵△OAB為等腰直角三角形，

∴OE=AB=3，

∴CE=OC+OE=3+3，

△ABC的面積=CE•AB=×（3+3）×6=9+18，

當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為9+18．

(3) 如圖：當(dāng)C在第二象限時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，則∠CFO=90°，

∵OC∥AD，

∴∠COF=∠DAO，

∴∠ADO=∠COD=90°，

∴∠ADO=∠CFO，

∴△OCF∽△AOD，

∴，即，

解得：CF=，

在Rt△OCF中，OF=，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，），

同理，當(dāng)C在第一象限時(shí)，C點(diǎn)的坐標(biāo)是（，），

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，），（，）；

②直線BC為為⊙O的切線，理由如下：

如圖：在Rt△OCF中，OC=3，CF=，

∴sin∠COF=

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，

在△BOC和△AOD中，

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），

∴∠BCO=∠ADO=90°，

∴OC⊥BC，

∴直線BC是⊙O的切線；

考點(diǎn)：圓的綜合題．