Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．

（1）問題提出：如圖1，若AD＝AE，AB＝AC．

①∠ABD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系為　 　；②∠BPC的度數(shù)為　 　．

（2）猜想論證：如圖2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，則（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．

（3）拓展延伸：在（1）的條件中，若AB＝2，AD＝1，若把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC＝90°時(shí)，直接寫出PB的長．

Answer 1

【答案】（1）①∠ABD＝∠ACE，②90°；（2）（1）中結(jié)論成立，見解析；（3）PB的長為或.

【解析】

（1）①依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=AC，AD=AE，依據(jù)同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依據(jù)“SAS”可證明△ADB≌△AEC，最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠ABD=∠ACE；

②由三角形內(nèi)角和定理可求∠BPC的度數(shù)；

（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結(jié)論；

（3）分為點(diǎn)E在AB上和點(diǎn)E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∠ABC=∠ACB=45°，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD=∠ACE．

②∵∠BPC=180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP=180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE），∴∠BPC=90°．

故答案為：∠ABD=∠ACE，90°．

（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴ABAC．

在Rt△ADE中，∠ADE=30°，

∴ADAE，

∴．

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ADB∽△AEC，

∴∠ABD=∠ACE；

∵∠BPC=180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP=180°﹣30°﹣（∠BCP+∠ACE），∴∠BPC=90°；

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，

∴CE．

同（1）可證△ADB≌△AEC，

∴∠DBA=∠ECA．

又∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時(shí)，BE=AB+AE=3．

∵∠EAC=90°，

∴CE．

同（1）可證△ADB≌△AEC，

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB．

綜上所述：PB的長為或．