Question

【題目】已知點(diǎn)和點(diǎn)是雙曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如果該雙曲線上一點(diǎn)使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．

Answer 1

【答案】，，．

【解析】

根據(jù)已知條件先求出，，，再對(duì)梯形的底邊進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)梯形以為底時(shí)，不合題意；當(dāng)梯形以為底時(shí)，求得；當(dāng)梯形以為底時(shí)，求得、．

解：∵點(diǎn)和點(diǎn)是雙曲線上兩點(diǎn)

∴，解得：

∴，

如圖所示，連接，，，過(guò)作軸，交軸于點(diǎn)；

∴，

∴在中，．

∴

①當(dāng)梯形以為底時(shí)，由于過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．

②當(dāng)梯形以為底時(shí)，過(guò)作的平行線，交雙曲線與點(diǎn)．

過(guò)作于，設(shè)

∵，

∴

∴

∴

將坐標(biāo)代入雙曲線解析式：

解得或（舍）

所以，此時(shí)，滿(mǎn)足要求

③當(dāng)梯形以為底時(shí)，過(guò)作的平行線，與雙曲線第一象限交于點(diǎn)，第三象限交于點(diǎn)．如圖，過(guò)作軸交軸于點(diǎn)，設(shè)

∵

∴

∴

∴

∴

∴

將坐標(biāo)代入雙曲線解析式：

解得：，或（舍）

所以，此時(shí)，滿(mǎn)足要求；

同理可求得，此時(shí)，滿(mǎn)足要求；

綜⊥所述，坐標(biāo)可為，，．

故答案是：，，．