Question

【題目】已知拋物線.

（1）當(dāng)，時，求拋物線與軸的交點(diǎn)個數(shù)；

（2）當(dāng)時，判斷拋物線的頂點(diǎn)能否落在第四象限，并說明理由；

（3）當(dāng)時，過點(diǎn)的拋物線中，將其中兩條拋物線的頂點(diǎn)分別記為，，若點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別是，，且點(diǎn)在第三象限.以線段為直徑作圓，設(shè)該圓的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）拋物線與軸有兩個交點(diǎn)；（2）拋物線的頂點(diǎn)不會落在第四象限，理由詳見解析；（3）.

【解析】

（1）將，代入解析式，然后求當(dāng)y=0時，一元二次方程根的情況，從而求解；（2）首先利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，解法一：假設(shè)頂點(diǎn)在第四象限，根據(jù)第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)列不等式組求解；解法二：設(shè)，，則，分析一次函數(shù)圖像所經(jīng)過的象限，從而求解；（3）將點(diǎn)代入拋物線，求得a的值，然后求得拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并根據(jù)點(diǎn)A位于第三象限求得t的取值范圍，利用勾股定理求得的函數(shù)解析式，從而求解.

解：（1）依題意，將，代入解析式

得拋物線的解析式為.

令，得，，

∴拋物線與軸有兩個交點(diǎn).

（2）拋物線的頂點(diǎn)不會落在第四象限.

依題意，得拋物線的解析式為，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

解法一：不妨假設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限，

則，解得.

∴該不等式組無解，

∴假設(shè)不成立，即此時拋物線的頂點(diǎn)不會落在第四象限.

解法二：設(shè)，，則，

∴該拋物線的頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動，而該直線不經(jīng)過第四象限，

∴拋物線的頂點(diǎn)不會落在第四象限.

（3）將點(diǎn)代入拋物線：，

得，

化簡，得.

∵，∴，即，

∴此時，拋物線的解析式為，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

當(dāng)時，，∴.

當(dāng)時，，∴.

∵點(diǎn)在第三象限，∴

∴.

又，，

∴點(diǎn)在點(diǎn)的右上方，

∴.

∵，

∴當(dāng)時，隨的增大而增大，

∴.

又.

∵,

∴隨的增大而增大，

∴.