Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+6交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸分別交x軸、線段AC于點(diǎn)E、F．

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)AD，CD，求△ACD的面積；

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE勻速向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，取△ACD一邊的兩端點(diǎn)和點(diǎn)P，若以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，且P為頂角頂點(diǎn)，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對(duì)稱軸x＝2，A（6，0）；（2）△ACD的面積為12；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，6）或（2，3）．

【解析】

（1）令y=0，求出x，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x＝0，求出y即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱軸公式即可求出拋物線的對(duì)稱軸；

（2）先將二次函數(shù)的一般式化成頂點(diǎn)式，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)“鉛垂高，水平寬”求面積即可；

（3）根據(jù)等腰三角形的底分類討論，①過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC交DE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)即可得出此時(shí)AC為等腰三角形ACP的底邊，且△OEP為等腰直角三角形，從而求出點(diǎn)P坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)C作CP⊥DE于點(diǎn)P，求出PD，可得此時(shí)△PCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，從而求出點(diǎn)P坐標(biāo)；③作AD的垂直平分線交DE于點(diǎn)P，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PD＝PA，設(shè)PD＝x，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出x，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）對(duì)于拋物線y＝﹣x2+2x+6令y＝0，得到﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，

∴B（﹣2，0），A（6，0），

令x＝0，得到y＝6，

∴C（0，6），

∴拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣＝2，A（6，0）．

（2）∵y＝﹣x2+2x+6＝，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)D（2，8），

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，

將A（6，0）和C（0，6）代入解析式，得

解得：，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x+6，

將x=2代入y＝﹣x+6中，解得y=4

∴F（2，4），

∴DF＝4，

∴＝＝12；

（3）①如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC交DE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，

∵A（6，0），C（0，6），

∴OA＝OC＝6，

∴CM＝AM，∠MOA=∠COA=45°

∴CP＝AP，△OEP為等腰直角三角形，

∴此時(shí)AC為等腰三角形ACP的底邊，OE＝PE＝2．

∴P（2，2），

②如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥DE于點(diǎn)P，

∵OC＝6，DE＝8，

∴PD＝DE﹣PE＝2，

∴PD＝PC，

此時(shí)△PCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，

∴P（2，6），

③如圖3，作AD的垂直平分線交DE于點(diǎn)P，

則PD＝PA，

設(shè)PD＝x，則PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE2+AE2＝PA2，

∴（8﹣x）2+42＝x2，

解得x＝5，

∴PE＝8﹣5=3，

∴P（2，3），

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，6）或（2，3）．