Question

【題目】已知拋物線y＝a（x﹣3）2+（a≠0）過(guò)點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為M，與x軸交于A，B兩點(diǎn)．如圖所示以AB為直徑作圓，記作⊙D．

（1）試判斷點(diǎn)C與⊙D的位置關(guān)系；

（2）直線CM與⊙D相切嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)E，能使四邊形ADEC為平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C在圓上，見(jiàn)解析；（2）直線CM與⊙D相切，見(jiàn)解析；（3）不存在，見(jiàn)解析

【解析】

（1）先用待定系數(shù)法求出a的值，然后求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得AD、CD的長(zhǎng)進(jìn)行比較即可判定；

（2）求得直線CM、直線CD的解析式通過(guò)它們的斜率進(jìn)行判定；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交拋物線于E，如果CE＝AD，則根據(jù)一組等邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定．

解：（1）∵拋物線y＝a(x﹣3)2+過(guò)點(diǎn)C（0，4），

∴4＝9a+，

解得：a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣(x﹣3)2+，

令y＝0，則﹣ (x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0）；

∴AB＝10，

∴AD＝5，

∴OD＝3.

∵C（0，4），

∴CD＝＝＝5，

∴CD＝AD，

∴點(diǎn)C在圓上；

（2）由拋物線y＝a(x﹣3)2+，可知：M(3，)，

設(shè)直線CM的解析式為：y=kx+b，

∵C（0，4），M(3，)，

∴，

∴，

∴直線CM為y＝+4，

設(shè)直線CM的解析式為：y=kx+b，

∵C（0，4），D(3，0)，

∴，

∴，

∴直線CD為：y＝﹣x+4，

∵，

∴CM⊥CD，

∵CD＝AD＝5，

∴直線CM與⊙D相切；

（3）不存在，理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交拋物線于E，

∵C（0，4），

∴當(dāng)y=4時(shí)，4＝﹣ (x﹣3)2+，

解得：x＝0，或x＝6，

∴CE＝6，

∴AD≠CE，

∴四邊形ADEC不是平行四邊形．