已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，且不等式ax2+bx+c＞-2x的解為1＜x＜3
（1）若方程ax2+bx+c+6a=0有兩個(gè)相等的根，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若y=ax2+bx+c的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．
考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的最值
專題：
分析：（1）根據(jù)題意得出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和直線y=-2x的交點(diǎn)為（1，-2），（3，-6），再根據(jù)方程ax2+bx+c+6a=0有兩個(gè)相等的根得出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可求得a、b、c的值，進(jìn)而求得解析式．
（2）先求得b=-2-4a，c=3a，根據(jù)題意b2-4ac＞0，把b=-2-4a，c=3a代入即可求得a的取值．
解答：解：（1）∵不等式ax2+bx+c＞-2x的解為1＜x＜3，
∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和直線y=-2x的交點(diǎn)為（1，-2），（3，-6），
根據(jù)題意得
a+b+c=-2
9a+3b+c=-6
b2-4a(c+6a)=0
，
解得
a=-
1
5
b=-
6
5
c=-
3
5
或
a=1
b=-6
c=3
（不合題意，舍去），
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-
1
5
x2-
6
5
x-
3
5
．

（2））∵不等式ax2+bx+c＞-2x的解為1＜x＜3，
∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和直線y=-2x的交點(diǎn)為（1，-2），（3，-6），a＜0，
∴
a+b+c=-2
9a+3b+c=-6

∴b=-2-4a，c=3a，
∵y=ax2+bx+c的最大值為正數(shù)，
∴b2-4ac＞0，
即（-2-4a）2-4a•3a＞0，解得a＞-2+
3
或a＜-2-
3
．
所以a的取值為a＞-2+
3
或a＜-2-
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求解析式，主要運(yùn)用的是方程的根與系數(shù)的關(guān)系．
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x-3
2
-
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3
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．

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