Question

12．如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交點為A、B兩點，其中點A的坐標為（-3，0）．
（1）求點B的坐標．
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．
①求拋物線的解析式及C點的坐標；
②若點P在拋物線上，且S_△POC=4S_△BOC，求點P的坐標；
③設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合拋物線的對稱軸以及點A的坐標，即可得出點B的坐標，
（2）①結(jié)合a=1，拋物線的對稱軸以及點B的坐標即可得出關于a、b、c的方程組，解方程組即可得出a、b、c的值，從而得出拋物線的解析式，再令x=0求出y值即可得出點C的坐標；
②根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△POC=4S_△BOC，即可得出點P的橫坐標，代入拋物線解析式中即可得出點P的坐標；
③根據(jù)點A、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，設出點Q的坐標，即可找出點D的坐標，從而找出線段DQ關于t的函數(shù)關系式，利用配方法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交點為A、B兩點，拋物線的對稱軸為x=-1，且點A的坐標為（-3，0），
∴點B的坐標為（-3+2×[-1-（-3）]，0），即（1，0）．
（2）①由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{-\frac{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3．
令y=x²+2x-3中x=0，則y=-3，
∴C點的坐標為（0，-3）．
②當△POC的OC邊上的高為4時滿足S_△POC=4S_△BOC，
此時x=±4，
當x=4時，y=4²+2×4-3=21；
當x=-4時，y=（-4）²+2×（-4）-3=5．
∴點P的坐標為（4，21）或（-4，5）．
③依照題意，畫出圖形，如圖所示．
設直線AC的解析式為y=mx+n，
將點A（-3，0）、C（0，-3）代入y=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-3m+n}\\{-3=n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x-3．
設點Q的坐標為（t，-t-3）（-3＜t＜0），則D（t，t²+2t-3），
則DQ=（-t-3）-（t²+2t-3）=-t²-3t=-$（x+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∴當x=-$\frac{3}{2}$時，線段DQ長度最大，最大值為$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關鍵是：（1）根據(jù)拋物線的對稱性求出點B的坐標；（2）①利用待定系數(shù)法結(jié)合a=1求出二次函數(shù)解析式；②根據(jù)兩三角形的面積間的關系找出點P的橫坐標；③根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關鍵．