【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上的點(diǎn),連接OP交直線AB于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,PQ與OQ的比值為y,求y與m的關(guān)系式,并求出PQ與OQ的比值的最大值;

(3)點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),連接OD、CD,設(shè)ODC外接圓的圓心為M,當(dāng)sinODC的值最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+x+3;(2)y=﹣m2+m,PQ與OQ的比值的最大值為;(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣1,﹣).

【解析】

1)根據(jù)直線解析式求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo),將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解可得;

(2)過點(diǎn)Py軸的平行線交AB于點(diǎn)E,據(jù)此知PEQ∽△OBQ,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得y=PE,由P(m,﹣m2+m+3)、E(m,﹣m+3)得PE=﹣m2+m,結(jié)合y=PE可得函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)性質(zhì)得其最大值;

(3)設(shè)CO的垂直平分線與CO交于點(diǎn)N,知點(diǎn)MCO的垂直平分線上,連接OM、CM、DM,根據(jù)∠ODC=CMO=OMN、MC=MO=MDsinODC=sinOMN=,當(dāng)MD取最小值時(shí),sinODC最大,據(jù)此進(jìn)一步求解可得.

(1)在y=﹣x+3中,令y=0x=4,令x=0y=3,

∴點(diǎn)A(4,0)、B(0,3),

A(4,0)、B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:

解得:,

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+3;

(2)如圖1,過點(diǎn)Py軸的平行線交AB于點(diǎn)E,

PEQ∽△OBQ,

,

=y、OB=3,

y=PE,

P(m,﹣m2+m+3)、E(m,﹣m+3),

PE=(﹣m2+m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+m,

y=(﹣m2+m)=﹣m2+m=﹣(m﹣2)2+,

0<m<3,

∴當(dāng)m=2時(shí),y最大值=,

PQOQ的比值的最大值為

(3)如圖,由拋物線y=﹣x2+x+3易求C(﹣2,0),對(duì)稱軸為直線x=1,

∵△ODC的外心為點(diǎn)M,

∴點(diǎn)MCO的垂直平分線上,

設(shè)CO的垂直平分線與CO交于點(diǎn)N,連接OM、CM、DM,

則∠ODC=CMO=OMN、MC=MO=MD,

sinODC=sinOMN=,

MO=MD,

∴當(dāng)MD取最小值時(shí),sinODC最大,

此時(shí)⊙M與直線x=1相切,MD=2,

MN==,

∴點(diǎn)M(﹣1,﹣),

根據(jù)對(duì)稱性,另一點(diǎn)(﹣1,)也符合題意;

綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣1,﹣).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,EBC的中點(diǎn),FCD上一點(diǎn),AEEF.有下列結(jié)論:①∠BAE30°;②射線FE是∠AFC的角平分線;③AE2ADAF;④AFAB+CF.其中正確結(jié)論為是______.(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))

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【題目】某校七年級(jí)計(jì)劃成立學(xué)生社團(tuán),要求每一位學(xué)生都選擇一個(gè)社團(tuán)而且只能選擇一個(gè)社團(tuán).為了解學(xué)生對(duì)不同社團(tuán)的選擇意向,隨機(jī)抽取了七年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行我最喜愛的社團(tuán)問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

七年級(jí)部分學(xué)生我最喜愛的社團(tuán)調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

社團(tuán)名稱

人數(shù)

文學(xué)社團(tuán)

4

創(chuàng)客社團(tuán)

9

書法社團(tuán)

繪畫社團(tuán)

6

體育社團(tuán)

10

音樂社團(tuán)

5

美食社團(tuán)

數(shù)學(xué)社團(tuán)

2

七年級(jí)部分學(xué)生我最喜愛的社團(tuán)調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖

請(qǐng)解答下列問題:

1______,______

2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,繪畫社團(tuán)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為______度.

3)該校七年級(jí)共有350名學(xué)生,每個(gè)社團(tuán)人數(shù)不低于30人才可以開展.試通過計(jì)算估計(jì)該校七年級(jí)有哪些社團(tuán)可以開展.

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【題目】課外閱讀是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要途徑.某中學(xué)為了了解全校學(xué)生課外閱讀情況,隨機(jī)抽查了200名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)他們平均每天課外閱讀時(shí)間(小時(shí)).根據(jù)每天課外閱讀時(shí)間的長短分為A,B,CD四類,下面是根據(jù)所抽查的人數(shù)繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問題:

200名學(xué)生平均每天課外閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

類別

時(shí)間t(小時(shí))

人數(shù)

A

t0.5

40

B

0.5≤t1

80

C

1≤t1.5

60

D

t≥1.5

a

1)求表格中a的值,并在圖中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖:

2)該,F(xiàn)有1800名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校共有多少名學(xué)生課外閱讀時(shí)間不少于1小時(shí)?

3)請(qǐng)你根據(jù)上述信息對(duì)該校提出相應(yīng)的建議

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【題目】劉徵是我國古代最杰出的數(shù)學(xué)家之一,他在《九算術(shù)圓田術(shù))中用“割圓術(shù)”證明了圓面積的精確公式,并給出了計(jì)算圓周率的科學(xué)方法(注:圓周率=圓的周長與該圓直徑的比值)“割圓術(shù)”就是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”,來無限逼近“圓面積”,劉徽形容他的“割圓術(shù)”說:割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣.劉徽計(jì)算圓周率是從正六邊形開始的,易知圓的內(nèi)接正六邊形可分為六個(gè)全等的正三角形,每個(gè)三角形的邊長均為圓的半徑R.此時(shí)圓內(nèi)接正六邊形的周長為6R,如果將圓內(nèi)接正六邊形的周長等同于圓的周長,可得圓周率為3.當(dāng)正十二邊形內(nèi)接于圓時(shí),如果按照上述方法計(jì)算,可得圓周率為_____.(參考數(shù)據(jù):sinl5°=0.26)

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(1).如果有2個(gè)路口,求小明在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)第一次遇到紅燈的概率.(請(qǐng)用畫樹狀圖列表等方法寫出分析過程)

(2).如果有n個(gè)路口,則小明在每個(gè)路口都沒有遇到紅燈的概率是 .

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【題目】如圖,拋物線的頂點(diǎn)為,交軸于點(diǎn),(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)),點(diǎn)在第一象限,且在拋物線部分上,軸于點(diǎn)

1)求該拋物線的表達(dá)式.

2)若,求的長.

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