Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC, BD相交于點O，且AE∥BD, BE∥AC, OE= CD.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若AD=2,則當四邊形ABCD的形狀是__________時，四邊形AOBE的面積取得最大值是__________.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定證明即可；

（2）根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)解答即可．

（1）∵AE∥BD，BE∥AC，

∴四邊形AEBO是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC=AB．

∵OE=CD，

∴OE=AB，

∴平行四邊形AEBO是矩形，

∴∠BOA=90°，

∴AC⊥BD，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）正方形，面積為2；理由如下：

過點B作OE的垂線段BF交OE于點F

因為OE＝CD＝AD＝2，

所以矩形AOBE的面積為2x0E:BF＝2BF

當AB與OE垂直時，BF長達到最大值，

即AB長的一半，此時矩形的面積為2

當AB與0E垂直時平行四邊形ABCD是正方形..