Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點P由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）過P作PM∥AD，交AB于M．當(dāng)t為何值時，四邊形AMPE是平形四邊形？
（2）設(shè)△PEQ的面積為y（平方厘米），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時，y有最大值，最大值是多少；
（3）連接PF，在上述運動過程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)四邊形AMPE是平行四邊形時，PE∥AB，則應(yīng)有

DE

DA

=

DP

DB

，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；
（2）過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N．由題意知，四邊形CDEF是平行四邊形，可證得△DEQ∽△BCD，得到

DE

BC

=

EQ

CD

，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到

PQ

BD

=

PN

BM

，求得PN的值，利用S_△PEQ=

1

2

EQ•PN得到y(tǒng)與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）易得△PDE≌△FBP，故有S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD，即五邊形的面積不變．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)四邊形AMPE是平行四邊形時，PE∥AB，則

DE

DA

=

DP

DB

．
而DE=t，DP=10-t，
∴

t

6

=

10-t

10

，
∴t=

15

4

，
∴當(dāng)t=

15

4

s，PE∥AB．

（2）∵線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，
∴EF平行且等于CD，
∴四邊形CDEF是平行四邊形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴

DE

BC

=

EQ

CD

．

t

10

=

EQ

4

．
∴EQ=

2

5

t．
如圖2，過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM=

1

2

CD=2cm，
∴BM=

102-22

=4

6

（cm），
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFQ=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFQ，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴

PQ

BD

=

PN

BM

．
∴

10-2t

10

=

PN

4 6

．
∴PN=4

6

（1-

t

5

）．
∴S_△PEQ=

1

2

EQ•PN=

1

2

×

2

5

t×4

6

（1-

t

5

）=-

4 6

25

t²+

4 6

5

t．
當(dāng)t=-

4 6 5

2×(- 4 6 25 )

=

5

2

時，y有最大值，最大值是

6

，．

（3）五邊形PFCDE的面積不發(fā)生變化，理由如下：
如圖3，連接PF．
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
在△PDE與△FBP中，

DE=BP ∠PDE=∠FBP PD=BF

，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD=8

6

．
∴在運動過程中，五邊形PFCDE的面積不變．

點評：本題利用了平行線的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式求解．綜合性較強(qiáng)，難度較大．