Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，F(xiàn)為AC邊上中點(diǎn)，四邊形BEDC是矩形，且BC=2BE，求證：△FBD是等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：首先證明△ABF∽△CBD，可得∠BAF=∠CBD，進(jìn)而得到∠FBD=∠FBC+∠CBD=∠ABC=45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

FB

DB

=

AB

CB

=

2

2

，作DG垂直于BF于G，再證明F、G重合即可．

解答：證明：∵∠A=90°，AB=AC，
∴BC=

2

AB，
∵F為AC邊上中點(diǎn)，
∴AF=

1

2

AC=

1

2

AB，
∵BC=2BE，
∴

AB

AF

=

BC

CD

=2，
∵∠A=∠BCD=90°，
∴△ABF∽△CBD，
∴∠BAF=∠CBD，
∴∠FBD=∠FBC+∠CBD=∠ABC=45°，
∵

FB

DB

=

AB

CB

=

2

2

，
作DG垂直于BF于G，
∴

GB

DB

=

2

2

，
∴F、G重合，
∴∠BFD=90°，
∴△FBD是直角等腰三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的判定，關(guān)鍵是正確證明△ABF∽△CBD．