Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），其中y=0，我們把點(diǎn)P′（-x+1，1-

1

y

）叫做點(diǎn)P的衍生點(diǎn)．已知點(diǎn)A₁的衍生點(diǎn)為A₂，點(diǎn)A₂的衍生點(diǎn)為A₃，點(diǎn)A₃的衍生點(diǎn)為A₄，…，這樣依次得到點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，-1），則點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為

 

；如果點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（a，b），且點(diǎn)A₂₀₁₅在雙曲線y=

1

x

上，那么

1

a

+

1

b

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：新定義,規(guī)律型

分析：根據(jù)衍生點(diǎn)的定義，若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，-1），則點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（2，

1

2

）；若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（a，b），分別計(jì)算點(diǎn)A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇的坐標(biāo)，根據(jù)計(jì)算結(jié)果得到這些點(diǎn)的坐標(biāo)每6個(gè)一循環(huán)，則可利用2015=335×6+5，可判斷點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)與點(diǎn)A₅相同，即為（a，

b-1

b

），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到a•

b-1

b

=1，則a=

b

b-1

，再根據(jù)分式的運(yùn)算得到

1

a

+

1

b

的值．

解答：解：根據(jù)衍生點(diǎn)的定義，點(diǎn)A₁（2，-1）的衍生點(diǎn)為A₂的坐標(biāo)為（-2+1，1-

1

-1

），即（-1，2）；點(diǎn)A₂（-1，2）的衍生點(diǎn)為A₃的坐標(biāo)為（1+1，1-

1

2

），即（2，

1

2

）；
若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（a，b），
點(diǎn)A₁的衍生點(diǎn)為A₂的坐標(biāo)為（-a+1，1-

1

b

），即A₂（-a+1，

b-1

b

）；
點(diǎn)A₂的衍生點(diǎn)為A₃的坐標(biāo)為（a-1+1，1-

1

b-1 b

），即A₃（a，-

1

b-1

）；
點(diǎn)A₃的衍生點(diǎn)為A₄的坐標(biāo)為（-a+1，1-

1

- 1 b-1

），即A₄（-a+1，b）；
點(diǎn)A₄的衍生點(diǎn)為A₅的坐標(biāo)為（a-1+1，1-

1

b

），即A₅（a，

b-1

b

）；
點(diǎn)A₅的衍生點(diǎn)為A₆的坐標(biāo)為（-a+1，1-

1

b-1 b

），即A₆（-a+1，-

1

b-1

）；
點(diǎn)A₆的衍生點(diǎn)為A₇的坐標(biāo)為（a-1+1，1-

1

- 1 b-1

），即A₇（a，b），
…
而2015=335×6+5，
所以點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)與點(diǎn)A₅相同，即為（a，

b-1

b

），
因?yàn)辄c(diǎn)A₂₀₁₅在雙曲線y=

1

x

上，
所以a•

b-1

b

=1，則a=

b

b-1

，
所以

1

a

+

1

b

=

b-1

b

+

1

b

=1．
故答案為（2，

1

2

），1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=

k

x

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了運(yùn)用從特殊到一般的方法解決規(guī)律型問題．