Question

在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），其中y=0，我們把點P′（-x+1，1-

1

y

）叫做點P的衍生點．已知點A₁的衍生點為A₂，點A₂的衍生點為A₃，點A₃的衍生點為A₄，…，這樣依次得到點A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．若點A₁的坐標為（2，-1），則點A₃的坐標為

 

；如果點A₁的坐標為（a，b），且點A₂₀₁₅在雙曲線y=

1

x

上，那么

1

a

+

1

b

=

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：新定義,規(guī)律型

分析：根據(jù)衍生點的定義，若點A₁的坐標為（2，-1），則點A₃的坐標為（2，

1

2

）；若點A₁的坐標為（a，b），分別計算點A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇的坐標，根據(jù)計算結(jié)果得到這些點的坐標每6個一循環(huán)，則可利用2015=335×6+5，可判斷點A₂₀₁₅的坐標與點A₅相同，即為（a，

b-1

b

），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到a•

b-1

b

=1，則a=

b

b-1

，再根據(jù)分式的運算得到

1

a

+

1

b

的值．

解答：解：根據(jù)衍生點的定義，點A₁（2，-1）的衍生點為A₂的坐標為（-2+1，1-

1

-1

），即（-1，2）；點A₂（-1，2）的衍生點為A₃的坐標為（1+1，1-

1

2

），即（2，

1

2

）；
若點A₁的坐標為（a，b），
點A₁的衍生點為A₂的坐標為（-a+1，1-

1

b

），即A₂（-a+1，

b-1

b

）；
點A₂的衍生點為A₃的坐標為（a-1+1，1-

1

b-1 b

），即A₃（a，-

1

b-1

）；
點A₃的衍生點為A₄的坐標為（-a+1，1-

1

- 1 b-1

），即A₄（-a+1，b）；
點A₄的衍生點為A₅的坐標為（a-1+1，1-

1

b

），即A₅（a，

b-1

b

）；
點A₅的衍生點為A₆的坐標為（-a+1，1-

1

b-1 b

），即A₆（-a+1，-

1

b-1

）；
點A₆的衍生點為A₇的坐標為（a-1+1，1-

1

- 1 b-1

），即A₇（a，b），
…
而2015=335×6+5，
所以點A₂₀₁₅的坐標與點A₅相同，即為（a，

b-1

b

），
因為點A₂₀₁₅在雙曲線y=

1

x

上，
所以a•

b-1

b

=1，則a=

b

b-1

，
所以

1

a

+

1

b

=

b-1

b

+

1

b

=1．
故答案為（2，

1

2

），1．

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=

k

x

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．也考查了運用從特殊到一般的方法解決規(guī)律型問題．