【題目】如圖,在平行四邊形中,,,,是射線上一點,連接,沿將三角形折疊,得三角形.
(1)當時,=_______度;
(2)如圖,當時,求線段的長度;
(3)當點落在平行四邊形的邊上時,直接寫出線段的長度.
【答案】(1)85或95或5;(2);(3)或9
【解析】
(1)根據(jù)點P在線段AD上或AD的延長線上和點與AD的位置關(guān)系分類討論,分別畫出圖形,根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求出結(jié)論;
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可推出,從而得出,作于,根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理求出AH和BH,利用銳角三角函數(shù)求出PH,即可求出結(jié)論;
(3)分點落在AD、BC、CD和AB上討論,分別畫出對應(yīng)的圖形,根據(jù)折疊的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理即可分別求出結(jié)論.
解:(1)①當點P在線段AD上,且點在直線AD右側(cè)時,如下圖所示
由折疊的性質(zhì)可得;
②當點P在線段AD上,且點在直線AD左側(cè)時,如下圖所示
由折疊的性質(zhì)可得;
③當點P在線段AD的延長線上時,如下圖所示
由折疊的性質(zhì)可得
綜上:=85°或95°或5°
故答案為:85或95或5;
(2)在中,,
∵,
∴,
∴,
∴,
作于,如下圖,
∴,
∴設(shè),,
∴,
∴,
∴,.
在中,,
∴,
∴.
(3)①當點在上時,如下圖,
∵,
∴,
∴,且,
∴,
設(shè),,
∴,
∴,
∴;
②當在上時,如下圖
由折疊可知,,,,
又∵,
∴,
∴.
∴,
∴四邊形為菱形,
∴;
③當在CD上時,如下圖,過點D作DM⊥AB于M,過點B作BN⊥CD于N
∴DM=BN,
∵
設(shè),,
∴,
解得:x=1
∴BN=DM=12
∵在CD上
∴≥BN=12>BA
∴此種情況不存在;
④當在AB上時,如下圖,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得點與點A關(guān)于PB對稱,即點在AB的延長線上,不符合題意.
綜上:當點落在平行四邊形的邊上時,或9;
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為( )
A.140°B.130°C.120°D.110°
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【題目】如圖,點I為△ABC的內(nèi)心,AB=4cm,AC=3cm,BC=2cm,將∠ACB平移,使其頂點與點I重合,則圖中陰影部分的周長為( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
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【題目】我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,認為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,周長就越接近圓周長,由此求得了圓周率π的近似值,設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L,圓的直徑為d,如圖所示,當n=6時,π≈==3,那么當n=12時,π≈≈________(結(jié)果精確到0.01,參考數(shù)據(jù):sin15°=cos75°≈0.259).
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【題目】在銳角中,,, ,將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到.(1)如圖1,當點在線段的延長線上時,則的度數(shù)為______________度;(2)如圖2,點為線段中點,點是線段上的動點,在繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中,點的對應(yīng)點是點,則線段長度最小值是_____________.
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【題目】已知∠MCN=45°,點B在射線CM上,點A是射線CN上的一個動點(不與點C重合).點B關(guān)于CN的對稱點為點D,連接AB、AD和CD,點F在直線BC上,且滿足AF⊥AD.小明在探究圖形運動的過程中發(fā)現(xiàn)AF=AB:始終成立.
如圖,當0°<∠BAC<90°時.
① 求證:AF=AB;
② 用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
當90°<∠BAC<135°時,直接用等式表示線段CF、CD與CA之間的數(shù)量關(guān)系是 .
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【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點(頂點是網(wǎng)格線的交點)和直線l及點O.
(1)畫出關(guān)于直線l對稱的;
(2)連接OA,將OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn),畫出旋轉(zhuǎn)后的線段;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當OA與有交點時,旋轉(zhuǎn)角的取值范圍為________.
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【題目】光明中學(xué)全體學(xué)生900人參加社會實踐活動,從中隨機抽取50人的社會實踐活動成績制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖,結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:
填寫下表:
中位數(shù) | 眾數(shù) | |
隨機抽取的50人的社會實踐活動成績單位:分 |
估計光明中學(xué)全體學(xué)生社會實踐活動成績的總分.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x(x﹣b)﹣與y軸相交于A點,與x軸相交于B、C兩點,且點C在點B的右側(cè),設(shè)拋物線的頂點為P.
(1)若點B與點C關(guān)于直線x=1對稱,求b的值;
(2)若OB=OA,求△BCP的面積;
(3)當﹣1≤x≤1時,該拋物線上最高點與最低點縱坐標的差為h,求出h與b的關(guān)系;若h有最大值或最小值,直接寫出這個最大值或最小值.
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