Question

如圖，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P為下底BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），連接AP，過(guò)P作∠APE=∠B，交DC于E．

（1）求證：△ABP∽△PCE；

（2）求等腰梯形的腰AB的長(zhǎng)；

（3）在底邊BC上是否存在一點(diǎn)P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

 

考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì)；解分式方程；三角形的外角性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 

專題： 幾何綜合題；壓軸題．

分析： （1）欲證△ABP∽△PCE，需找出兩組對(duì)應(yīng)角相等；由等腰梯形的性質(zhì)可得出∠B=∠C，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證得∠EPC=∠BAP；由此得證；

（2）可過(guò)作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性質(zhì)得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根據(jù)∠B的度數(shù)及BF的長(zhǎng)即可求得AB的值；

（3）在（2）中求得了AB的長(zhǎng)，即可求出DE：EC=5：3時(shí)，DE、CE的值．設(shè)BP的長(zhǎng)為x，進(jìn)而可表示出PC的長(zhǎng)，然后根據(jù)（1）的相似三角形，可得出關(guān)于AB、BP、PC、CE的比例關(guān)系式，由此可得出關(guān)于x的分式方程，若方程有解，則x的值即為BP的長(zhǎng)．若方程無(wú)解，則說(shuō)明不存在符合條件的P點(diǎn)．

解答： （1）證明：由∠APC為△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；

∵∠B=∠APE

∴∠EPC=∠BAP

∵∠B=∠C

∴△ABP∽△PCE；

 

（2）解：過(guò)A作AF⊥BC于F；

∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，

∴BF=，

∵Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；

∴AB=4cm；

 

（3）解：存在這樣的點(diǎn)P．

理由是：∵

解之得EC=cm．

設(shè)BP=x，則PC=7﹣x

由△ABP∽△PCE可得

=，

∵AB=4，PC=7﹣x，

∴=

解之得x₁=1，x₂=6，

經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，

即BP=1cm或BP=6cm．

點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)．