Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，在BC邊上取點E，使BE＝AB，將△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD．

（1）求證：四邊形AEFD是菱形；

（2）如圖2，將△DCF繞點D旋轉(zhuǎn)至△DGA，連接GE，求線段GE的長；

（3）如圖3，設P、Q分別是EF、AE上的兩點，且∠PDQ=67.5°，試探究線段PF、AQ、PQ之間的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）PQ2＝PF2+AQ2，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AE∥DF，AE＝DF，則由此判斷四邊形AEFD是平行四邊形，然后由：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，證得結論；

（2）根據(jù)勾股定理，即可求解；（3）如下圖，作輔助線，構建三角形全等，證明△PDQ≌△GDQ，得PQ＝GQ，在Rt△AGQ中，根據(jù)勾股定理可得結論．

（1）由平移，得AE∥DF，AE＝DF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形．

∵矩形ABCD，∴∠B=90°，∵BE=AE＝，

∴AE＝4，

又∵AE＝AD＝4，

∴四邊形AEFD是菱形．

（2）由（1）得：△ABE是等腰直角三角形∴∠AEB=45°，

∵AE∥DF，

∴∠F=∠AEB=45°，

∵矩形ABCD，∴AD∥BC

∴∠DAE=∠AEB=45°，

∴∠GAE=90°，

∵△DCF繞點D旋轉(zhuǎn)得到△DGA，

∴GA=CF＝，

∴．

（3）PF、AQ、PQ之間的數(shù)量關系為：

PQ2＝PF2+AQ2．

理由如下：

由（2）得：∠AEB=45°，∴∠ADF=∠AEF=135°，∵AD＝DF，

∴將△DFP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)135°得△DAG，

連GQ，如圖，∴GA＝PF，DG＝DP，∠GDA＝∠PDF，∠GAD＝∠F=45°，

∴∠GAQ＝∠GAD+∠DAE＝90°，

∴GQ2＝GA2+AQ2＝PF2+AQ2；

又∵∠ADF＝135°，而∠PDQ＝67.5°，∴∠PDF+∠ADQ＝135°﹣67.5°＝67.5°，

∴∠GDA+∠ADQ＝∠GDQ=67.5°，∴∠PDQ＝∠GDQ

而DG＝DP，DQ為公共邊，∴△PDQ≌△GDQ，

∴PQ＝GQ，

∴PQ2＝PF2+AQ2．