【題目】如圖1,矩形ABCD中,ABAD4,在BC邊上取點(diǎn)E,使BEAB,將△ABE向左平移到△DCF的位置,得到四邊形AEFD

1)求證:四邊形AEFD是菱形;

2)如圖2,將△DCF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至△DGA,連接GE,求線段GE的長(zhǎng);

3)如圖3,設(shè)P、Q分別是EF、AE上的兩點(diǎn),且PDQ=67.5°,試探究線段PFAQ、PQ之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2;(3PQ2PF2+AQ2,理由見(jiàn)解析

【解析】

1)根據(jù)平移的性質(zhì)得到AE∥DF,AE=DF,則由此判斷四邊形AEFD是平行四邊形,然后由:鄰邊相等的平行四邊形是菱形,證得結(jié)論;

2)根據(jù)勾股定理,即可求解;(3)如下圖,作輔助線,構(gòu)建三角形全等,證明△PDQ≌△GDQ,得PQ=GQ,在Rt△AGQ中,根據(jù)勾股定理可得結(jié)論.

1)由平移,得AEDFAEDF,

∴四邊形AEFD是平行四邊形.

∵矩形ABCD,∴B=90°,∵BE=AE,

AE4,

又∵AEAD4

∴四邊形AEFD是菱形.

2)由(1)得:△ABE是等腰直角三角形∴AEB=45°,

AEDF,

F=∠AEB=45°

∵矩形ABCD,∴ADBC

DAE=∠AEB=45°

GAE=90°,

∵△DCF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到△DGA

GA=CF,

3PFAQ、PQ之間的數(shù)量關(guān)系為:

PQ2PF2+AQ2

理由如下:

由(2)得:AEB=45°,∴ADF=∠AEF=135°,∵ADDF

∴將△DFP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得△DAG,

GQ,如圖,∴GAPFDGDP,∠GDA=∠PDF,∠GAD=∠F=45°,

∴∠GAQ=∠GAD+DAE90°,

GQ2GA2+AQ2PF2+AQ2

又∵∠ADF135°,而∠PDQ67.5°,∴∠PDF+ADQ135°﹣67.5°=67.5°,

∴∠GDA+ADQ=∠GDQ=67.5°,∴∠PDQ=∠GDQ

DGDP,DQ為公共邊,∴△PDQ≌△GDQ,

PQGQ,

PQ2PF2+AQ2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,已知△ABC中,ABAC16cmBC10cm,點(diǎn)DAB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),當(dāng)以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以C、Q、P為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí),點(diǎn)Q的速度可能為_____

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(1)求m的取值范圍;

(2)如果該二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)分別為x1,0),(x2,0),且2 x1 x2+ x1+ x2≥20,求m的取值范圍.

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【題目】閱讀下面材料:

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點(diǎn).

觀察圖象可知:

①當(dāng)x=﹣3或1時(shí),y1=y2;

②當(dāng)﹣3<x<0或x>1時(shí),y1>y2,即通過(guò)觀察函數(shù)的圖象,可以得到不等式ax+b>的解集.

有這樣一個(gè)問(wèn)題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.

某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)以上知識(shí)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進(jìn)行了探究.

下面是他的探究過(guò)程,請(qǐng)將(2)、(3)、(4)補(bǔ)充完整:

(1)將不等式按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化:

當(dāng)x=0時(shí),原不等式不成立;

當(dāng)x>0時(shí),原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1>;

當(dāng)x<0時(shí),原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1<;

(2)構(gòu)造函數(shù),畫(huà)出圖象

設(shè)y3=x2+4x﹣1,y4=,在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象.

雙曲線y4=如圖2所示,請(qǐng)?jiān)诖俗鴺?biāo)系中畫(huà)出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)

(3)確定兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)

觀察所畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象,猜想并通過(guò)代入函數(shù)解析式驗(yàn)證可知:滿足y3=y4的所有x的值為   ;

(4)借助圖象,寫(xiě)出解集

結(jié)合(1)的討論結(jié)果,觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集為   

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【題目】已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象的兩個(gè)交點(diǎn);

(1)求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍;

(3)求△AOB的面積.

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閱讀數(shù)量

1本

2本

3本

3本以上

人數(shù)(人)

10

18

13

4

根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,閱讀2本書(shū)籍的人數(shù)最多,這個(gè)數(shù)據(jù)2是(

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1[-2.6]=______,<6.2=______

2)已知x,y滿足方程組,則[x]=______,<y=______,x的取值范圍是______,y的取值范圍是______

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【題目】如圖,P是等腰直角△ABC外一點(diǎn),把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A∶P′C=1∶3,則P′A∶PB=( )

A. 1∶ B. 1∶2 C. ∶2 D. 1∶

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1)本次抽查的樣本容量是  ;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m  ,n  ,“答對(duì)10題”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為  度;

2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

3)請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果,估算出該校答對(duì)超過(guò)7題的學(xué)生人數(shù).

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