Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于點(diǎn)E，AD=8cm，AB=5cm．從初始時刻開始，動點(diǎn)P，Q 分別從點(diǎn)A，B同時出發(fā)，運(yùn)動速度均為1cm/s，動點(diǎn)P沿A-B--C--E的方向運(yùn)動，到點(diǎn)E停止；動點(diǎn)Q沿B--C-E-D的方向運(yùn)動，到點(diǎn)D停止，設(shè)運(yùn)動時間為xs，△PAQ的面積為y cm²，（這里規(guī)定：線段是面積為0的三角形），圖2直角坐標(biāo)系中圖象是y與x函數(shù)圖象的一部分．

解答下列問題：
（1）當(dāng)x=2s時，y=

 

cm²；BC=

 

cm．     
（2）當(dāng)5≤x≤14時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）直接寫出在整個運(yùn)動過程中，使PQ與四邊形ABCE的對角線平行的所有x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象

專題：

分析：（1）當(dāng)x=2s時，AP=2，BQ=2，利用三角形的面積公式直接可以求出y的值，從圖2圖中可看出當(dāng)y=8時，動點(diǎn)Q在C點(diǎn)，由由y=

1

2

x²求出其解．
（2）當(dāng)5≤x≤14 時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．要分為三種不同的情況進(jìn)行表示：當(dāng)5≤x≤9時，當(dāng)9＜x≤13時，當(dāng)13＜x≤14時．
（3）利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)線段成比例就可以求出對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）①∵動點(diǎn)P，Q 分別從點(diǎn)A，B同時出發(fā)，運(yùn)動速度均為1cm/s，
∴當(dāng)運(yùn)動時間為xs，AP=BQ=xcm，
∵Q點(diǎn)在BC上時，△PAQ的面積=

1

2

AP•BQ，即y=

1

2

x²，
當(dāng)x=2s時，AP=2cm，BQ=2cm，
∴y=

1

2

×2×2=2cm²
②從圖2圖中可看出當(dāng)y=8時，動點(diǎn)Q在C點(diǎn)，由y=

1

2

x²，得出x=

16

=4cm，
∴BC=BQ=4cm．
故答案為：2，4．
（2）當(dāng)5≤x≤9時，

y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=

1

2

（5+x-4）×4-

1

2

×5（x-5）-

1

2

（9-x）（x-4），
y=

1

2

x²-7x+

65

2

，
當(dāng)9＜x≤13時，

y=

1

2

x（x-9+4）（14-x），
y=

1

2

x²+

19

2

x-35，
當(dāng)13＜x≤14時，

y=

1

2

×8（14-x），
y=-4x+56；
（3）設(shè)運(yùn)動時間為x秒，
當(dāng)PQ∥AC時，BP=5-x，BQ=x，
此時△BPQ∽△BAC，
故

BP

AB

=

BQ

BC

，即

5-x

5

=

x

4

，
解得x=

20

9

，
當(dāng)PQ∥BE時，PC=9-x，QC=x-4，
此時△PCQ∽△BCE，

PC

BC

=

CQ

CE

，即 

9-x

4

=

x-4

5

，
解得x=

61

9

；
當(dāng)PQ∥BE時，EP=14-x，EQ=x-9，
此時△PEQ∽△BAE，
故

EP

AB

=

EQ

AE

，即

14-x

5

=

x-9

4

，
解得x=

101

9

綜上所述x的值為：x=

20

9

，

61

9

，

101

9

．

點(diǎn)評：本題考查了用函數(shù)關(guān)系式表示變化過程中三角形的面積，相似三角形的判定及性質(zhì)，梯形的面積等多個知識點(diǎn)．是一道分段函數(shù)試題，難度較大．