【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OADB的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(﹣6,0),B(0,4).過點(diǎn)C(﹣6,1)的雙曲線y=(k≠0)與矩形OADB的邊BD交于點(diǎn)E.

(1)填空:OA=  ,k=   ,點(diǎn)E的坐標(biāo)為   ;

(2)當(dāng)1≤t≤6時(shí),經(jīng)過點(diǎn)M(t﹣1,﹣t2+5t﹣)與點(diǎn)N(﹣t﹣3,﹣t2+3t﹣)的直線交y軸于點(diǎn)F,點(diǎn)P是過M,N兩點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線y=上時(shí),求證:直線MN與雙曲線y=沒有公共點(diǎn);

②當(dāng)拋物線y=﹣x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn),求t的值;

③當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)P隨著t的變化同時(shí)向上運(yùn)動(dòng)時(shí),求t的取值范圍,并求在運(yùn)動(dòng)過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積.

【答案】(1)6,﹣6,(﹣,4);(2)①證明見解析;②t=或t=;.

【解析】(1)根據(jù)題意將相關(guān)數(shù)據(jù)代入.

(2)①t表示直線MN解析式,及b,c,得到P點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線y=解析式,證明關(guān)于t的方程無解即可;

根據(jù)拋物線開口和對(duì)稱軸,分別討論拋物線過點(diǎn)B和在BD上時(shí)的情況;

中部分結(jié)果,用t表示F、P點(diǎn)的縱坐標(biāo),求出t的取值范圍及直線MN在四邊形OAEB中所過的面積.

解:(1)A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣6,0)

OA=6

∵過點(diǎn)C(﹣6,1)的雙曲線y=

k=﹣6

y=4時(shí),x=

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣,4)

故答案為:6,﹣6,(﹣,4)

(2)①設(shè)直線MN解析式為:y1=k1x+b1

由題意得:

解得,

∵拋物線y=﹣過點(diǎn)M、N,

,

解得

∴拋物線解析式為:y=﹣x2﹣x+5t﹣2

∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,5t﹣

P在雙曲線y=﹣

(5t﹣)×(﹣1)=﹣6

t=

此時(shí)直線MN解析式為:

聯(lián)立

8x2+35x+49=0

∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536<0

∴直線MN與雙曲線y=﹣沒有公共點(diǎn).

②當(dāng)拋物線過點(diǎn)B,此時(shí)拋物線y=﹣x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)

4=5t﹣2,得t=

當(dāng)拋物線在線段DB上,此時(shí)拋物線與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)

,得t=

t=t=

③∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,5t﹣

yP=5t﹣

當(dāng)1≤t≤6時(shí),yPt的增大而增大

此時(shí),點(diǎn)P在直線x=﹣1上向上運(yùn)動(dòng)

∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,﹣

yF=﹣

∴當(dāng)1≤t≤4時(shí),隨者yFt的增大而增大

此時(shí),隨著t的增大,點(diǎn)Fy軸上向上運(yùn)動(dòng)

1≤t≤4

當(dāng)t=1時(shí),直線MN:y=x+3x軸交于點(diǎn)G(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)H(0,3)

當(dāng)t=4﹣時(shí),直線MN過點(diǎn)A.

當(dāng)1≤t≤4時(shí),直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積為

S=.

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