Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+8（a≠0）與x軸交于點A（-2，0）、點B，與y軸交于點C，頂點為D，tan∠ABC=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線上有一點N，使得直線ON將△BOC的面積分成相等的兩部分，求點N的坐標(biāo)；
（3）在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+8（a≠0）與y軸交于點C，得出C（0，8），在直角△OBC中，根據(jù)正切函數(shù)的定義得tan∠OBC=

OC

OB

=

8

OB

=2，求出B點坐標(biāo)為（4，0），再把A（-2，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx+8，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線ON與BC交于點E，由直線ON將△BOC的面積分成相等的兩部分，得出E為BC的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出E點坐標(biāo)為（2，4），設(shè)直線ON的解析式為y=kx，將E點坐標(biāo)（2，4）代入，利用待定系數(shù)法求出直線ON的解析式為y=2x，與拋物線的解析式聯(lián)立得到方程組

y=2x y=-x2+2x+8

，解方程組即可求出點N的坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在點P，設(shè)P點坐標(biāo)為（2，t），用含t的代數(shù)式分別表示PH和PO的長度．設(shè)OB的中垂線交CD于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出PH=

2

PO，據(jù)此列出方程，方程若有實數(shù)根則能求出P點坐標(biāo)，則點P存在，若沒有實數(shù)根則不能求出點P的坐標(biāo)，則點P不存在．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+8（a≠0）與y軸交于點C，
∴C（0，8）．
在直角△OBC中，∵∠BOC=90°，OC=8，
∴tan∠OBC=

OC

OB

=

8

OB

=2，
∴OB=4，B點坐標(biāo)為（4，0）．
把A（-2，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx+8，
得

4a-2b+8=0 16a+4b+8=0

，解得

a=-1 b=2

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+8；

（2）設(shè)直線ON與BC交于點E．
∵直線ON將△BOC的面積分成相等的兩部分，
∴E為BC的中點．
∵B（4，0），C（0，8），
∴E點坐標(biāo)為（2，4）．
設(shè)直線ON的解析式為y=kx，
將E點坐標(biāo)（2，4）代入，得4=2k，
解得k=2，
即直線ON的解析式為y=2x．
由

y=2x y=-x2+2x+8

，解得

x=2 2 y=4 2

，或

x=-2 2 y=-4 2

，
∴點N的坐標(biāo)為（2

2

，4

2

）或（-2

2

，-4

2

）；

（3）假設(shè)滿足條件的點P存在，依題意可設(shè)P（2，t）．
∵y=-x²+2x+8=-（x²-2x+1）+1+8=-（x-1）²+9，
∴頂點D的坐標(biāo)為（1，9）．
由C（0，8），D（1，9）求得直線CD的解析式為y=x+8，它與x軸的夾角為45°．
設(shè)OB的中垂線交CD于H，點P到CD的距離為d，如圖，則H（2，10），|PH|=|10-t|．
∵PH=

2

d，d=PO，
∴PH=

2

PO，
∵PO=

4+t2

，
∴|10-t|=

2

×

4+t2

，
兩邊平方并整理得：t²+20t-92=0，
解得t=-10±8

3

．
故存在滿足條件的點P，P的坐標(biāo)為（2，-10+8

3

）或（2，-10-8

3

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，拋物線的頂點求法，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．