Question

我們知道：sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

，可得sin²30°+cos²30°=

1

4

+

3

4

=1，那么對于任意的銳角A，是否都有sin²A+cos²A=1呢？
（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C對邊分別為a，b，c，可得sinA=

a

c

，cosA=

b

c

，證明sin²A+cos²A=1．
（2）若已知sinA=

2

3

，利用（1）的結(jié)論求cosA的值．
（3）用以上探究的方法你能得出sinA，cosA，tanA三者之間的關系嗎？請直接寫出答案．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)的關系

專題：

分析：（1）由三角函數(shù)的定義及勾股定理即可證明；
（2）將sinA=

2

3

代入sin²A+cos²A=1即可求出cosA的值；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出sinA，cosA，tanA三者之間的關系．

解答：（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a²+b²=c²．
又∵sinA=

a

c

，cosA=

b

c

，
∴sin²A+cos²A=（

a

c

）²+（

b

c

）²=

a2+b2

c2

=1；

（2）解：∵sin²A+cos²A=1，sinA=

2

3

，
∴cos²A=1-（

2

3

）²=

5

9

，
∴cosA=

5

3

；

（3）解：∵sinA=

a

c

，cosA=

b

c

，tanA=

a

b

，
∴cosA•tanA=

b

c

•

a

b

=

a

c

=sinA，
即sinA=cosA•tanA．

點評：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的關系，熟記定義是解題的關鍵．